Endomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Mo 11.08.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | | Sei [mm] \pi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums V. Man beweise, dass es eine ganze Zahl n mit (kern [mm] \pi^{n}) \cap [/mm] (im [mm] \pi^{n}) [/mm] = 0 gibt. |
Zuerst habe ich gedacht, ich könnte zeigen, dass [mm] \pi [/mm] nilpotent ist. Dann würde ja für ein n dass [mm] \pi^{n} [/mm] = 0 und daraus würde doch dann die zu zeigende Behauptung folgen.
Doch nun habe ich bemerkt, dass [mm] \pi [/mm] unter Umständen gar nicht nilpotent ist.
Wie kann man diese Behauptung denn zeigen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Sei [mm]\pi[/mm] : V [mm]\to[/mm] V ein Endomorphismus eines
> endlichdimensionalen Vektorraums V. Man beweise, dass es
> eine ganze Zahl n mit (kern [mm]\pi^{n}) \cap[/mm] (im [mm]\pi^{n})[/mm] = 0
> gibt.
Du meinst wohl: (kern [mm]\pi^{n}) \cap[/mm] (im [mm]\pi^{n})[/mm] = [mm] \emptyset.
[/mm]
> Zuerst habe ich gedacht, ich könnte zeigen, dass [mm]\pi[/mm]
> nilpotent ist. Dann würde ja für ein n dass [mm]\pi^{n}[/mm] = 0 und
> daraus würde doch dann die zu zeigende Behauptung folgen.
> Doch nun habe ich bemerkt, dass [mm]\pi[/mm] unter Umständen gar
> nicht nilpotent ist.
> Wie kann man diese Behauptung denn zeigen?
Eine lineare Abbildung ist durch die Angabe der Bilder der Basisvektoren festgelegt.
Wenn du nun einen Basisvektor nimmst und immer wieder die Abbildung draufwirfst, dann können zwei Sachen passieren: Entweder wird er irgendwann zu Null oder er kommt irgendwann in eine unendliches Schema, also wird immer abwechselnd auf Vektoren abgebildet, kommt aber eben so nie auf die Null.
Wenn du das für alle Basisvektoren durchziehst, dann hast du deine disjunkten Basen von kern [mm] \pi^n [/mm] und im [mm] \pi^n, [/mm] je nachdem wo die Basis "hingeht".
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Mo 11.08.2008 | | Autor: | johnny11 |
Hallo Merle23,
Vielen Dank für die tolle Erklärung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:41 Di 12.08.2008 | | Autor: | fred97 |
> > Sei [mm]\pi[/mm] : V [mm]\to[/mm] V ein Endomorphismus eines
> > endlichdimensionalen Vektorraums V. Man beweise, dass es
> > eine ganze Zahl n mit (kern [mm]\pi^{n}) \cap[/mm] (im [mm]\pi^{n})[/mm] = 0
> > gibt.
>
> Du meinst wohl: (kern [mm]\pi^{n}) \cap[/mm] (im [mm]\pi^{n})[/mm] =
> [mm]\emptyset.[/mm]
Nein, das meint johnny nicht ! Sondern:
(kern [mm]\pi^{n}) \cap[/mm] (im [mm]\pi^{n})[/mm] = {0}
>
> > Zuerst habe ich gedacht, ich könnte zeigen, dass [mm]\pi[/mm]
> > nilpotent ist. Dann würde ja für ein n dass [mm]\pi^{n}[/mm] = 0 und
> > daraus würde doch dann die zu zeigende Behauptung folgen.
> > Doch nun habe ich bemerkt, dass [mm]\pi[/mm] unter Umständen gar
> > nicht nilpotent ist.
> > Wie kann man diese Behauptung denn zeigen?
>
> Eine lineare Abbildung ist durch die Angabe der Bilder der
> Basisvektoren festgelegt.
> Wenn du nun einen Basisvektor nimmst und immer wieder die
> Abbildung draufwirfst, dann können zwei Sachen passieren:
> Entweder wird er irgendwann zu Null oder er kommt
> irgendwann in eine unendliches Schema, also wird immer
> abwechselnd auf Vektoren abgebildet, kommt aber eben so nie
> auf die Null.
> Wenn du das für alle Basisvektoren durchziehst, dann hast
> du deine disjunkten Basen von kern [mm]\pi^n[/mm] und im [mm]\pi^n,[/mm] je
> nachdem wo die Basis "hingeht".
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Di 12.08.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo johnny,
wir nehmen n = dim V.
Wegen {0} [mm] \subseteq [/mm] kern [mm] \pi \subseteq [/mm] kern [mm] \pi^2 \subseteq [/mm] kern [mm] \pi^3 \subseteq [/mm] ........... gilt mit obigem n:
(*) kern [mm] \pi^n [/mm] = kern [mm] \pi^{n+1} [/mm] =.......= kern [mm] \pi^{2n}
[/mm]
Sei x [mm] \in [/mm] (kern $ [mm] \pi^{n}) \cap [/mm] $ (im $ [mm] \pi^{n}) [/mm] $ . Es ist zu zeigen: x = 0.
Dann ist [mm] \pi^{n} [/mm] (x) = 0 und es ex ein y in V mit x = [mm] \pi^{n} [/mm] (y), also ist
y [mm] \in [/mm] kern [mm] \pi^{2n}. [/mm] Wegen (*) folgt: y [mm] \in [/mm] kern [mm] \pi^{n}, [/mm] also x = 0.
FRED
|
|
|
|
