Entenjagd Binomialverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 10 Jäger sitzen im Gebüsch auf der Lauer, als 10 Enten auffliegen. Jeder sucht sich blitzschnell zufällig eine Ente aus, legt an, schießt und trifft. Es kann hierbei also sein, dass sich zwei oder mehrere Jäger die gleiche Ente ausgesucht haben. Für die Modellierung des Zufallsexperiments
„Entenjagd“ treffen wir die folgenden Annahmen:
Voraussetzung:
• Die Jäger wählen unabhängig voneinander jeweils eine der 10 Enten als Ziel aus. Jede Ente hat dieselbe Chance, ausgewählt zu werden.
• Jeder Jäger trifft seine ausgewählte Ente sicher.
a.) Beschreiben Sie dieses stochastische Problem als Zufallsexperiment mit einem geeigneten Zufallsgerät (Urne, Glücksrad,...) und geben Sie einen passenden Ergebnisraum Ω an.
b.) Berechnen Sie die Überlebenschance einer beliebig herausgegriffenen Ente sowie die Wahrscheinlichkeit, dass alle 10 Enten getroffen werden.
Die Voraussetzunngen werden verändert, so dass die Jäger mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% treffen. Berechne hierfür a) und b) |
a)Ein Mögliches Modell hierfür wäre doch Ziehen mit Zurücklegen, oder? Also nummerierte Kugeln in einer Urne, die Kugeln müssen also unterscheidbar sein!
Oder ein Glücksrad mit 10 Feldern, 1-10 durchnummeriert für die 10 Enten. Dann dürfen 10 personen drehen, die haben ja jeweils 10 Möglichkeiten die sie treffen können
Ich weiß aber nicht wie ich einen Ergebnisraum angeben soll.
[mm] a_1,..,a_10 [/mm] ist die Anzahl der Enten
[mm] b_2,...,b_10 [/mm] ist die Anzahl der Jäger
b)Für 10 Enten und 10 Jäger gibt es [mm] 10^{10} [/mm] verschiedene Möglichkeiten.
Dafür, dass alle Enten getroffen werden gibt es [mm] 10!\vektor{10 \\ 10}=10! [/mm] Möglichkeiten.
[mm] \bruch{10!}{10^{10}}= [/mm] 0,036288 =3,63% ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 10 Enten getroffen werden. Stimmt das Ergebnis überhaupt?
Aber ich soll das nicht mit Laplace machen, sondern mit Binomialverteilung! Wie mache ich das? Wir hatten in der Vorlesung folgende Formel:
[mm] (1-\bruch{1}{n})^n [/mm] Aber damit komme ich nicht drauf.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Ente getroffen wird setzt sich wieder aus den 10^10 möglichen Ergebnissen zusammen, günstig sind 10!10 denn 10!{10 [mm] \\ [/mm] 9} Möglichkeiten gint es. [mm] \bruch{10!10}{10^10}=0,36288 [/mm] sind also 36,29 % ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Ente getroffen wird. Ist das so richtig? Auch heir das Problem, dass Laplace nicht verwendet werden soll.
nun das größte Problem. Wie mache ich das, wenn die Trefferwahsrcheinlichkeit bei 75% liegt?
Wäre nett, wenn ihr mir bei der Aufgabe helfen könnt.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 So 20.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin Mathegirl,
implizit beschreibst du [mm] $\Omega$ [/mm] in deiner Loesung zu b) ja schon. Stell dir die Enten aufgereiht vor und nenne die Jaeger [mm] 1,2,\dots,10. [/mm] Die erste Ente kann von jedem Jaeger getroffen werden, sagen wir von [mm] $a_1$. [/mm] Analog [mm] $a_2$, [/mm] usw. Somit ist
[mm] $\Omega=\{a_1,\dots,a_{10})\mid\a_i\in\{1,2,\dots,10\}\}$.
[/mm]
In der Tat hat [mm] $\Omega$ $10^{10}$ [/mm] Elemente.
Das kannst du natuerlich noch umformulieren fuer eine Urne ...
Bei b) wird eine Ente nicht getroffen, wenn alle Jaeger auf eine andere Ente zielen. Wie gross ist die Wsk dafuer, dass *ein* Jaeger auf die Ente nicht zielt? Wie gross ist die Wsk dafuer, dass *alle* Jaeger auf die Ente nicht zielen?
vg Luis
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Danke, das mit dem Ergebnisraum ist mir jetzt klar, ich habe da zu kompliziert gedacht. Aber deine Hinweise zu b) verstehe ich leider nicht ganz.
Gesucht ist:
P("Überlebenschance einer beliebigen Ente")
Ich verstehe aber deinen Hinweis nicht, also das ein Jäger nicht auf die Ente schießt, das wären ja [mm] \bruch{10 \\ 9}*(0,5)^9*(0,5)^1 [/mm] ?? Oder?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 So 20.01.2013 | | Autor: | luis52 |
>
> Ich verstehe aber deinen Hinweis nicht, also das ein Jäger
> nicht auf die Ente schießt, das wären ja [mm]\bruch{10 \\ 9}*(0,5)^9*(0,5)^1[/mm]
> ?? Oder?
>
Wie kommst du denn darauf? Ich meine, du denkst erneut zu kompliziert. *Ich* erhalte $9/10$.
vg Luis
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Ach soo.... [mm] \bruch{9}{10} [/mm] schießen nicht auf eine Ente und [mm] \bruch{1}{10} [/mm] schießt auf eine Ente. Aber ich muss ja noch beachten, dass es eine beliebige Ente sein soll, dafür gibts also nochmal 10 Möglichkeiten.
Jetzt bin ich allerdings völlig irritiert, was die Überlebenschance einer beliebigen Ente betrifft. Das müssten doch dann [mm] \bruch{9}{10}^{10}= [/mm] 0,34868, also 34,87% sein, oder? Das erscheint mir etwas viel.
Dann gehts noch darum, dass alle Enten getroffen werden.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 So 20.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Ach soo.... [mm]\bruch{9}{10}[/mm] schießen nicht auf eine Ente und
> [mm]\bruch{1}{10}[/mm] schießt auf eine Ente. Aber ich muss ja
> noch beachten, dass es eine beliebige Ente sein soll,
> dafür gibts also nochmal 10 Möglichkeiten.
Das interessiert nicht, du sollst fuer irgendeine Ente argumentieren, sagen wir fuer Ente "Mathegirl". 
>
> Jetzt bin ich allerdings völlig irritiert, was die
> Überlebenschance einer beliebigen Ente betrifft. Das
> müssten doch dann [mm]\bruch{9}{10}^{10}=[/mm] 0,34868, also 34,87%
> sein, oder? Das erscheint mir etwas viel.
Ist aber korrekt.
>
> Dann gehts noch darum, dass alle Enten getroffen werden.
>
Wie gross ist die Wsk dafuer, dass die erste Ente getroffen wird? Die erste und zweite? ... Die erste, zweite,..., zehnte?
vg Luis
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Die Wahrscheinlichkeit, dass Ente 1 getroffen wird ist [mm] \bruch{1}{10}, [/mm] dass die zweite getroffen wird ist auch [mm] \bruch{1}{10} [/mm] usw..
[mm] (\bruch{1}{10})^{10} [/mm] war ja meine Idee dazu, kann aber nicht stimmen, dafür ist das Ergebnis zu klein.
Die Aufgabe verwirrt mich sehr, obwohl sie eigentlich nicht mal so kompliziert ist.
LG
mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 So 20.01.2013 | | Autor: | luis52 |
>
> kann aber nicht stimmen, dafür ist das Ergebnis zu klein.
Wer sagt das?
vg Luis
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Das kommt mir einfach etwas komisch vor! Wenn 10 Jäger auf 10 Enten schießen, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit nicht bei 0.00000001 % bzw ich kann mir das so nicht vorstellen.
Das die Wahrschheinlichkeit sehr gering ist, ja, aber so gering?
Kannst du mir vielleicht noch erklären wie ich vorgehe, wenn jeder Jäger nur eine Trefferwahrscheinlichkeit von 75% hat? Also für die Überlebenschance einer beliebigen Ente und dafür, dass alle Enten getroffen werden.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 So 20.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Das kommt mir einfach etwas komisch vor! Wenn 10 Jäger auf
> 10 Enten schießen, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit
> nicht bei 0.00000001 % bzw ich kann mir das so nicht
> vorstellen.
>
Gut, dann schlachten wir das Pferd mal von hinten. Dann kommt auch die Binomialverteilunmg ins Spiel.
Sei $X$ die Anzahl der getroffenen .Enten. Die Wsk, dass eine Ente getroffen wird, ist 1/10. Also ist $X$ binomialverteilt mit $n=10$ und $p=1/10$. Gesucht ist
[mm] $P(X=10)=\binom{10}{10}(1/10)^{10}(9/10)^{10-10}=(1/10)^{10}$.
[/mm]
vg Luis
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Danke luis, das hab ich auch so aufgeschrieben mit der binomialverteilung, mir kam nur das Ergebnis etwas unglaubwürdig vor, daher habe ich an der Rechnung gezweifelt!
Jetzt habe ich allerdings noch sas Problem mit der 75% Trefferquote. Kannst du mir dafür noch einen Tipp geben wie ich die 75% hier mit einbauen kann?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 So 20.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Jetzt habe ich allerdings noch sas Problem mit der 75%
> Trefferquote. Kannst du mir dafür noch einen Tipp geben
> wie ich die 75% hier mit einbauen kann?
>
>
Vorher haben wir mit der Trefferwsk 1/10 gearbeitet. Ich denke, du kannst die Aufgabe analog zu oben loesen, indem du die Trefferwsk enstprechend modifizierst.
vg Luis
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Das wäre dann p= [mm] \bruch{1}{0,75} [/mm] richtig?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 So 20.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Das wäre dann p= [mm]\bruch{1}{0,75}[/mm] richtig?
>
$p=1.333333$ ist ein bisschen viel.
vg Luis
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[mm] p=\bruch{0,75}{10} [/mm] ???
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 So 20.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> [mm]p=\bruch{0,75}{10}[/mm] ???
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und wie begruendest du das?
vg Luis
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Ich habe mit 0,75 multipliziert. 1 von 10 Enten wird mit 75% getroffen. Ich weiß nicht genau wie ich das besser begründen kann...
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 So 20.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Ich habe mit 0,75 multipliziert. 1 von 10 Enten wird mit
> 75% getroffen. Ich weiß nicht genau wie ich das besser
> begründen kann...
Na aber nach welchen Regel darfst du das?
Die Begruendug lautet: Eine Ente wird getroffen, wenn ein Jaeger auf die Ente zielt (Ereignis $A$) und wenn er trifft (Ereignis $B$). Wird Unabhaengigkeit angenommen, so ist die Trefferwsk 0.075.
vg Luis
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Danke Luis, das mit der Unabhängigkeit war mir so nicht bekannt! das muss ich wogl nochmal nachschlagen.
Aber eine Frage habe ich noch: Überlebenswahsrcheinlichkeit einer beliebigen Ente war [mm] (\bruch{9}{10})^10
[/mm]
Wenn ich das mit Binomialkoeffizienten mache, dann klappts irgendwie nicht!!
[mm] P(X=9)=\vektor{10 \\ 9}*(\bruch{1}{10})^9*(\bruch{1}{10})^1
[/mm]
Was ist hier falsch?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 So 20.01.2013 | | Autor: | luis52 |
[mm] $(9/10)^{10}=(1-1/10)^{10}$. [/mm] Hier ist nun [mm] $(1-0.075)^{10}$ [/mm] gesucht.
vg Luis
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Ja, das habe ich verstanden, aber ich verstehe nicht, warum ich mit der Binomialverteilung nicht darauf komme. Sorry, wenn ich grad ein schwieriger Fall bin, aber ich verstehe es tatsächlich nicht.
X=9 Enten werden getroffen
p=1/10
n=10
k=9
[mm] P(X=9)=\vektor{10 \\ 9}*(\bruch{1}{10})^9 *(\bruch{1}{10})^1
[/mm]
Warum stimmt das nicht? Das ist ja nicht das gleiche Ergebnis wie [mm] \bruch({9}{10})^10 [/mm]
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 So 20.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin Mathegirl,
vorher war $X$ die Anzahl der getroffenen Enten. Jetzt betrachten wir eine einzelne Ente. Es bezeichne $Y$ die Anzahl der Jaeger, die die Ente treffen. Fuer einen Jaeger ist die Trefferwsk 0.075. Also ist $Y$ binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0.075$. Gesucht ist
[mm] $P(Y=0)=\binom{10}{0}0.075^0(1-0.075)^{10-0}=(1-0.075)^{10}$.
[/mm]
vg Luis
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