Epsilon-Delta < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:28 Di 15.02.2011 | | Autor: | hilbert |
| Aufgabe | Beweisen sie die Stetigkeit der folgenden Funktion in x = a mit Hilfe des [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Kriteriums der Stetigkeit.
f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
x -> [mm] \bruch{1}{1+x^4} [/mm] |
Hallo liebes Matheteam.
Ich bin noch an meinen Vorbereitungen für die Klausur in Ana I und plage mich mit Stetigkeit herum.
Hier ist eine Aufgabe die ich so gar nicht kann.
[mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Kriterium:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 [/mm] :(|x-y| < [mm] \delta [/mm] => |f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon) [/mm]
Ich fange doch dann mit dieser Betrachtung an:
[mm] |\bruch{1}{1+x^4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1+y^4}| [/mm] oder?
Bekomme langsam Panik vor der Klausur =/
Danke für die Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 Di 15.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hi,
> Beweisen sie die Stetigkeit der folgenden Funktion in x = a
> mit Hilfe des [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] Kriteriums der
> Stetigkeit.
> f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> x -> [mm]\bruch{1}{1+x^4}[/mm]
> Hallo liebes Matheteam.
> Ich bin noch an meinen Vorbereitungen für die Klausur in
> Ana I und plage mich mit Stetigkeit herum.
>
> Hier ist eine Aufgabe die ich so gar nicht kann.
>
> [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] Kriterium:
>
> [mm]\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0[/mm] :(|x-y| < [mm]\delta[/mm]
> => |f(x)-f(y)| < [mm]\varepsilon)[/mm]
>
> Ich fange doch dann mit dieser Betrachtung an:
>
> [mm]|\bruch{1}{1+x^4}[/mm] - [mm]\bruch{1}{1+y^4}|[/mm] oder?
Ich gehe mal davon aus, dass du zuerst punktweise Stetigkeit in x zeigen willst:
[mm] $\left|\bruch{1}{1+x^4} - \bruch{1}{1+y^4}\right|$=$\left|\bruch{y^4-x^4}{(1+x^4)(1+y^4)}\right|$=$\left|\bruch{(y-x)(y^3+y^2x+yx^2+x^3)}{(1+x^4)(1+y^4)}\right|\leq|x-y|<\varepsilon$, [/mm] wenn [mm] $\left|\bruch{y^3+y^2x+yx^2+x^3}{(1+x^4)(1+y^4)}\right|\leq [/mm] 1$.
Wie nah muss dafür y an x sein (*)?
EDIT: Vom Prinzip her ist die Idee, sogar gleichmäßige Stetigkeit zu zeigen - das sollte möglich sein, da die Funktion ja nur beschränkt wächst oder fällt.
Da ich an der Stelle (*) allerdings selbst nicht weitergekommen bin, bin ich mir nicht mehr sicher.
Damit bleibt noch was für jemandem mit mehr Erfahrung
Gruß
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Hallo hilbert,
> Beweisen sie die Stetigkeit der folgenden Funktion in x = a
> mit Hilfe des [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] Kriteriums der
> Stetigkeit.
> f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> x -> [mm]\bruch{1}{1+x^4}[/mm]
> Hallo liebes Matheteam.
> Ich bin noch an meinen Vorbereitungen für die Klausur in
> Ana I und plage mich mit Stetigkeit herum.
>
> Hier ist eine Aufgabe die ich so gar nicht kann.
>
> [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] Kriterium:
>
> [mm]\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0[/mm] :(|x-y| < [mm]\delta[/mm]
> => |f(x)-f(y)| < [mm]\varepsilon)[/mm]
>
> Ich fange doch dann mit dieser Betrachtung an:
>
> [mm]|\bruch{1}{1+x^4}[/mm] - [mm]\bruch{1}{1+y^4}|[/mm] oder?
Ja, oben steht zwar a, aber das ist der richtige Ansatz.
Die Schwierigkeit ist hier, das olle Biest vernünftig so abzuschätzen, dass kein [mm]x[/mm] mehr drin steht. Das gesuchte [mm]\delta[/mm] darf nur von [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]a[/mm] (bzw. [mm]y[/mm]) abhängen ...
Ich schreib's mal mit a:
Sei [mm]|x-a|<\delta[/mm] und [mm]|x-a|<1[/mm] (du hältst dich ja in der "Nähe" von a auf)
Dann ist [mm]\left|\frac{1}{1+x^4}-\frac{1}{1+a^4}\right|=\frac{\left|a^4-x^4\right|}{\underbrace{(1+x^4)}_{\ge 1}(1+a^4)}\le\frac{|x^2-a^2|\cdot{}\left|x^2+a^2\right|}{1\cdot{}(1+a^4)}=\frac{|x-a|\cdot{}|x+a|\cdot{}\left|x^2+a^2\right|}{1+a^4} \ \ (\star)[/mm]
Nun ist es etwas tricky:
Mit [mm]|x-a|<1[/mm] ist dann [mm]|x+a|=|x-a+2a|\le 1+2|a|[/mm] nach Dreiecksungleichung und
[mm]\left|x^2+a^2\right|=\left|x^2-a^2+2a^2\right|\le\left|x^2-a^2\right|+2a^2=|x-a|\cdot{}|x+a|+2a^2\le|x-a|\cdot{}(1+2|a|)+2a^2[/mm]
Also [mm](\star)\le\frac{|x-a|\cdot{}(1+2|a|)\cdot{}\left(|x-a|\cdot{}(1+2|a|)+2a^2\right)}{1+a^4}\le\frac{\delta\cdot{}(1+2|a|)\cdot{}\left(\delta\cdot{}(1+2|a|)+2a^2\right)}{1+a^4}\overset{!}{<}\varepsilon[/mm]
Das löse mal nach [mm]\delta[/mm] auf und wähle schlussendlich dein gesuchtes [mm]\tilde\delta[/mm] als [mm]\min\{1,\delta\}[/mm]
>
> Bekomme langsam Panik vor der Klausur =/
>
> Danke für die Hilfe.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Do 17.02.2011 | | Autor: | hilbert |
Wie soll ich denn sowas in der Klausur schaffen? =/
[mm] \frac{\delta\cdot{}(1+2|a|)\cdot{}\left(\delta\cdot{}(1+2|a|)+2a^2\right)}{1+a^4}\overset{!}{<}\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw (\delta (1+2|a|))^2 +(\delta(1+2|a|)* 2a^2) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] * [mm] (1+a^4)
[/mm]
[mm] \gdw \delta [/mm] * [mm] ((1+2|a|))^2 [/mm] + [mm] (1+2|a|)2a^2) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] * [mm] (1+a^4)
[/mm]
[mm] \gdw \delta [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] * [mm] \bruch{ (1+a^4)}{((1+2|a|))^2 + (1+2|a|)2a^2)}
[/mm]
Hoffe ich habe nicht allzugroßen Humbug gemacht.
Wieso muss ich jetzt noch [mm] \delta' [/mm] als [mm] min(\delta [/mm] , 1) wählen?
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Hallo hilbert,
> Wie soll ich denn sowas in der Klausur schaffen? =/
>
> [mm]\frac{\delta\cdot{}(1+2|a|)\cdot{}\left(\delta\cdot{}(1+2|a|)+2a^2\right)}{1+a^4}\overset{!}{<}\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\gdw (\delta (1+2|a|))^2 +(\delta(1+2|a|)* 2a^2)[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] * [mm](1+a^4)[/mm]
>
> [mm]\gdw \delta[/mm] * [mm]((1+2|a|))^2[/mm] + [mm](1+2|a|)2a^2)[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] *
> [mm](1+a^4)[/mm]
Wende hier zum Auflösen nach [mm]\delta[/mm] die quadratische Ergänzung an.
>
> [mm]\gdw \delta[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] * [mm]\bruch{ (1+a^4)}{((1+2|a|))^2 + (1+2|a|)2a^2)}[/mm]
>
> Hoffe ich habe nicht allzugroßen Humbug gemacht.
>
> Wieso muss ich jetzt noch [mm]\delta'[/mm] als [mm]min(\delta[/mm] , 1)
> wählen?
Weil Du Dich in der Nähe von "a" aufhältst.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Do 17.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast Recht, für ne Klausur ist das umständlich.
wenn man daran denkt, dass man ruhig ein viel zu kleines [mm] \delta [/mm] angeben darf, geht das besser.
nimm erst mal a>0 da die fkt sym ist gilt dann alles auch für a<0
a=0 ist dirkt zu machen,
dann für a>0 wähle [mm] \delta
damit hast du a/2<x<1.5a und kommst schneller mit dem Abschätzen zurecht.
[mm] |\bruch{a^4-x^4}{(1+a^2)*(1+x^2)}|<|a^4-x^4| [/mm] da der Nenner >1 war
[mm] |a^4-x^4|=|a^2+x^2|*|a-x|*|a+x| [/mm] jetzt benutzt du x<1.5a
damit [mm] a^2+x^2
und du hast [mm] |a^4-x^4|<3,25a^2*2.5a*\delta<\epsilon, [/mm] falls [mm] \delta
Dass man das min der 2 nehmen muss ist (insbesondere für kleine a wichtig, da man ja gleich zu anfang [mm] \delta
die Methode für [mm] \delta [/mm] erst mal schon ne grenze anzunehmen hilft fast immer, hier ist a/2 viel besser als ein fester Wert 1 oder 0.5 der aber auch geht.
nachteil, du musst a=0 einzeln behandeln, aber das geht ja in einem einzigen Schritt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Do 17.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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