Epsilon Delta Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 So 20.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Geben Sie einen [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Beweis für die Stetigkeit von f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}} [/mm] in a [mm] \in \IR [/mm] an. |
Guten Morgen,
habe hier folgendes gemacht:
|f(x) - f(a)| = | [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{a^{2}+1}} [/mm] |= | [mm] \bruch{\wurzel{a^{2}+1} - \wurzel{x^{2}+1}}{ \wurzel{x^{2}+1}* \wurzel{a^{2}+1}} [/mm] |
[mm] \le [/mm] | [mm] \wurzel{a^{2}+1} [/mm] - [mm] \wurzel{x^{2}+1}| [/mm] = | [mm] \bruch{(a^{2}+1)-(x^{2}+1)}{\wurzel{a^{2}+1} + \wurzel{x^{2}+1}}| [/mm] = | [mm] \bruch{a^{2}-x^{2}}{\wurzel{a^{2}+1} + \wurzel{x^{2}+1}} [/mm] | = | [mm] \bruch{(a-x)(a+x)}{\wurzel{a^{2}+1} + \wurzel{x^{2}+1}} [/mm] | [mm] \le [/mm] |a-x|* [mm] \bruch{|a+x|}{\wurzel{a^{2}+1} + \wurzel{x^{2}+1}}.
[/mm]
Und ab hier weiß ich nicht mehr weiter. Würde mich über einen kleinen Denkanstoß freuen. Stimmt meine Abschätzung soweit?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 So 20.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie einen [mm]\epsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] Beweis für die
> Stetigkeit von f(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}}[/mm] in a [mm]\in \IR[/mm]
> an.
> Guten Morgen,
>
> habe hier folgendes gemacht:
>
> |f(x) - f(a)| = | [mm]\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{a^{2}+1}}[/mm] |= | [mm]\bruch{\wurzel{a^{2}+1} - \wurzel{x^{2}+1}}{ \wurzel{x^{2}+1}* \wurzel{a^{2}+1}}[/mm]
> |
> [mm]\le[/mm] | [mm]\wurzel{a^{2}+1}[/mm] - [mm]\wurzel{x^{2}+1}|[/mm] = |
> [mm]\bruch{(a^{2}+1)-(x^{2}+1)}{\wurzel{a^{2}+1} + \wurzel{x^{2}+1}}|[/mm]
> = | [mm]\bruch{a^{2}-x^{2}}{\wurzel{a^{2}+1} + \wurzel{x^{2}+1}}[/mm]
> | = | [mm]\bruch{(a-x)(a+x)}{\wurzel{a^{2}+1} + \wurzel{x^{2}+1}}[/mm]
> | [mm]\le[/mm] |a-x|* [mm]\bruch{|a+x|}{\wurzel{a^{2}+1} + \wurzel{x^{2}+1}}.[/mm]
Es ist [mm] $\bruch{|a+x|}{\wurzel{a^{2}+1} + \wurzel{x^{2}+1}} \le [/mm] |a+x|$
und Du kannst annehmen: |x-a|<1, also |x|<1+|a|
FRED
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> Und ab hier weiß ich nicht mehr weiter. Würde mich über
> einen kleinen Denkanstoß freuen. Stimmt meine Abschätzung
> soweit?
>
> LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 So 20.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Oh vielen Dank. :)
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