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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:01 Do 12.03.2009 | | Autor: | fecit |
| Aufgabe | Man bestimmte den Grenzwert und eine natürliche Zahl [mm] n_{0}, [/mm] sodaß [mm] |a_{n} -a|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n>n_{0}
[/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{4n}{2n-1} \varepsilon=0.01 [/mm] |
[mm] a_{n}=\bruch{4n}{2n-1} [/mm]
//Berechne Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{4n}{2n-1} [/mm] ) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{4n}{n} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2-\bruch{1}{n}}) [/mm] = 2
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}= [/mm] 2
//Setze in die Formel ein
[mm] |a_{n} -a|<\varepsilon
[/mm]
[mm] |\bruch{4n}{2n-1}-2|<\varepsilon
[/mm]
[mm] |\bruch{4n}{2n-1}-\bruch{4n-2}{2n-1}|<\varepsilon
[/mm]
[mm] |\bruch{-2}{2n-1}| <\varepsilon
[/mm]
[mm] \bruch{2}{2n+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{100} [/mm]
//Ab diesem Schritt komme ich nicht weiter. Jedoch sollte es ab dem 51ten Folgeglied gelten!
Meine Frage wie kann ich diese Ungleichung lösen? Welche "Tricks" gibt es um eventuell ähnliche Probleme zu lösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Do 12.03.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich rechne so:
[mm] $\left|\bruch{4n}{2n-1}-\bruch{4n-2}{2n-1}\right|<\varepsilon \iff \left|\bruch{2}{2n-1}\right| <\varepsilon \iff \frac{2}{\varepsilon}<2n-1\iff \frac{1}{\varepsilon}+\frac{1}{2}
vg Luis
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