Ermitteln Funktionsgleichung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Dwhy |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Tag erstmal,
vorweg möchte ich sagen, wow, diese Forum hat großes potential und ist eine wirkliche hilfe.
Und nun zu meiner Frage,
Am kommenden Freitag schreibe ich eine Klausur.
Themen sind Integralrechnung und das Ermitteln von Funktionsgleichungen.
Mit der Integralrechnung an sich habe ich keinerlei probleme.
Doch kommen wir zum Ermitteln von Funktionsgleichungen.
Gibt es da irgendwie eine möglichkeit die verschiedenen fälle aufzuzeigen wie ich irgendwelche Bedingungen bekomme?
Ich meine wenn ich habe P (2/4) dann weis ich das ist:
f(2)=4 daraus kann ich ja dann eine gleichung machen.
Aber es gibt doch noch andere möglichkeiten, wie mit Scheitelpunkt usw.
Da blicke ich leider nicht so durch. Gibt es da vielleicht eine Art Formelsammlung oder der gleichen?
Ich danke schonmal im Vorraus für die Hilfe.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Fugre |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Guten Tag erstmal,
> vorweg möchte ich sagen, wow, diese Forum hat großes
> potential und ist eine wirkliche hilfe.
> Und nun zu meiner Frage,
> Am kommenden Freitag schreibe ich eine Klausur.
> Themen sind Integralrechnung und das Ermitteln von
> Funktionsgleichungen.
> Mit der Integralrechnung an sich habe ich keinerlei
> probleme.
> Doch kommen wir zum Ermitteln von Funktionsgleichungen.
> Gibt es da irgendwie eine möglichkeit die verschiedenen
> fälle aufzuzeigen wie ich irgendwelche Bedingungen
> bekomme?
> Ich meine wenn ich habe P (2/4) dann weis ich das ist:
>
> f(2)=4 daraus kann ich ja dann eine gleichung machen.
>
> Aber es gibt doch noch andere möglichkeiten, wie mit
> Scheitelpunkt usw.
> Da blicke ich leider nicht so durch. Gibt es da vielleicht
> eine Art Formelsammlung oder der gleichen?
> Ich danke schonmal im Vorraus für die Hilfe.
>
> Liebe Grüße
>
Hallo Dwhy,
eine solche Sammlung habe ich noch nie gesehen, aber sie würde sicher
vielen helfen, deswegen können wir ja mal eine erstellen.
Ich schreibe jetzt mal die Sachen auf die mir so einfallen und vielleicht
kannst du oder ein anderer die Sammlung vervollständigen:
Allgemein:
(1) Der Punkt $ [mm] E(x_e/y_e) [/mm] $ ist Extrempunkt $ [mm] \Rightarrow f'(x_e)=0 [/mm] $
(2) Der Punkt $ [mm] W(x_w/y_w) [/mm] $ ist Wendepunkt $ [mm] \Rightarrow f''(x_w)=0 [/mm] $
(3) Der Punkt $ [mm] P(x_p/y_p) [/mm] $ ist Punkt der Parabel $ [mm] \Rightarrow f(x_p)=y_p [/mm] $
(4) Der Punkt $ [mm] T(x_t/y_t) [/mm] $ hat eine Tangente mit der Steigung $ [mm] m_t [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow f'(x_t)=m_t [/mm] $
(5) Der Punkt $ [mm] N(x_n/y_n) [/mm] $ hat eine Normale mit der Steigung $ [mm] m_n [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow f'(x_n)*m_n=-1 [/mm] $
(6) Die Kurven f(x) und g(x) berühren sich in $ [mm] B(x_b/y_b) [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow f(x_b)=g(x_b) \wedge f'(x_b)=g'(x_b) [/mm] $
So, das ist das, was mir auf Anhieb einfällt, es wird also sicherlich noch einiges fehlen.
Liebe Grüße
Fugre
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Dann möchte ich die Liste von Fugre mal ein wenig ergänzen:
Ganz wichtig: bei seinen Punkten (1), (2), (4) und (5) sollte man vielleicht noch etwas ergänzen:
(1) Der Punkt [mm]E(x_e/y_e)[/mm] ist Extrempunkt [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f'(x_e)=0[/mm] und [mm]f(x_e)=y_e[/mm].
(2) Der Punkt [mm]W(x_w/y_w)[/mm] ist Wendepunkt [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f''(x_w)=0[/mm] und [mm]f(x_w)=y_w[/mm].
(4) Der Punkt [mm]T(x_t/y_t)[/mm] hat eine Tangente mit Steigung [mm]m_t[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f'(x_t)=m_t[/mm] und [mm]f(x_t)=y_t[/mm].
(5) Dasselbe wie bei (4): ergänze das [mm]f(x_n)=y_n[/mm].
Das nächste ist eigentlich kein absolut neuer Punkt, aber eine Formulierung, über die man manchmal bei solchen Aufgaben auch stolpert:
(7) Im Punkt [mm]W(x_0/y_0)[/mm] findet man einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f(x_0)=y_0[/mm] und [mm]f'(x_0)=0[/mm] und [mm]f''(x_0)=0[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Dwhy |
(1) Der Punkt $ [mm] E(x_e/y_e) [/mm] $ ist Extrempunkt $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ $ [mm] f'(x_e)=0 [/mm] $ und $ [mm] f(x_e)=y_e [/mm] $.
(2) Der Punkt $ [mm] W(x_w/y_w) [/mm] $ ist Wendepunkt $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ $ [mm] f''(x_w)=0 [/mm] $ und $ [mm] f(x_w)=y_w [/mm] $.
(4) Der Punkt $ [mm] T(x_t/y_t) [/mm] $ hat eine Tangente mit Steigung $ [mm] m_t [/mm] $ $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ $ [mm] f'(x_t)=m_t [/mm] $ und $ [mm] f(x_t)=y_t [/mm] $.
(5) Dasselbe wie bei (4): ergänze das $ [mm] f(x_n)=y_n [/mm] $.
Ist das einfach so möglich? Ich meine wenn ich dann die angabe habe das:
Der Punkt (2/3) Wendepunkt ist das ich einfach dann daraus schließe er ist:
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ $ [mm] f''(x_w)=0 [/mm] $ und $ [mm] f(x_w)=y_w [/mm] $.
und dann f(x)= [mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + cx + d ein, und habe dann schon gleich 2 gleichungen aus denen ich dann a,b,c und d berechnen kann.
Bin mir da net so sicher.
Um 4 unbekannte zu berechnen, brauche ich ja die vier punkte aus denen ich was machen kann oder? Und durch die angabe eines Wendepunktes hätte ich ja dann bereits 2 davon. Oder auch des Extrempunktes
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Dwhy |
Wenn nun der fall währe das:
1:"berührt die Gerade g(x) = 2x + 1 an der Stelle x = -1"
2:"die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(2/0) ist t(x) = 4x - 9"
3:"die Wendetangente in W(0,5/f(0,5)) hat die Steigung a = 3"
4:"die Tangente in P(2/f(2)) verläuft parallel zu der Geraden g(x) = 0,5x - 3"
Was könnte ich daraus schliessen....?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Youri |
![[huhu]](/images/smileys/huhu.gif "[huhu]") Dwhy!
> Wenn nun der fall währe das:
> 1:"berührt die Gerade g(x) = 2x + 1 an der Stelle x = -1"
Die Gerade und die gesuchte Funktion haben also einen gemeinsamen Punkt.
Hier kannst Du einen Punkt der Funktion ermitteln, indem Du [mm] x=-1
[/mm] in die Gerade einsetzt.
[mm] g(-1) = -1 [/mm]
=> [mm] P(-1/-1) [/mm]
1. Bedingung: [mm]f(-1) = -1[/mm]
Da die Gerade die Funktion nur in einem Punkt berührt , sollte es sich bei dieser Geraden genau um die Tangente handeln.
Also weißt Du zudem:
2. Bedingung: [mm]f'(-1)=g'(x)=2[/mm]
***************************
> 2:"die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt
> P(2/0) ist t(x) = 4x - 9"
I. [mm] f(2) = 0[/mm]
II.[mm] f'(2)=t'(x)=4[/mm]
**********************
> 3:"die Wendetangente in W(0,5/f(0,5)) hat die Steigung a =
> 3"
I. [mm] f'(0,5)=3[/mm]
II.[mm] f''(0,5)=0 \wedge f'''(0,5)\not=0[/mm]
************************
> 4:"die Tangente in P(2/f(2)) verläuft parallel zu der
> Geraden g(x) = 0,5x - 3"
Parallele Geraden haben dieselbe Steigung, die Tangente hat die Steigung der Funktion an der Stelle [mm]x=2[/mm]
I. [mm]f'(2)=g'(x)=0,5 [/mm]
*************************
Wenn ich mich nicht irre, sind das genau die Bedingungen, die Du jeweils ableiten kannst.
Dann musst Du natürlich beachten, was für eine Art von Funktion gesucht ist, und dementsprechend Deine "Blanko"-Funktion wählen.
Hoffe, ich hab nichts übersehen... ![[cold]](/images/smileys/cold.gif "[cold]")
Ist Dir das klar?
Du solltest evtl. versuchen ein paar Ansätze hier mal vorzustellen -
dann können wir Dir am besten helfen.
Lieben Gruß,
Andrea.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Dwhy |
Wenn nun der fall währe das:
> 1:"berührt die Gerade g(x) = 2x + 1 an der Stelle x = -1"
Die Gerade und die gesuchte Funktion haben also einen gemeinsamen Punkt.
Hier kannst Du einen Punkt der Funktion ermitteln, indem Du $ x=-1 $ in die Gerade einsetzt.
g(-1) = -1
=> P(-1/-1)
1. Bedingung: f(-1) = -1
Da die Gerade die Funktion nur in einem Punkt berührt , sollte es sich bei dieser Geraden genau um die Tangente handeln.
Also weißt Du zudem:
2. Bedingung: $ f'(-1)=g'(x)=2 $
***************************
> 2:"die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt
> P(2/0) ist t(x) = 4x - 9"
I. f(2) = 0
II.$ f'(2)=t'(x)=4 $
**********************
> 3:"die Wendetangente in W(0,5/f(0,5)) hat die Steigung a =
> 3"
I. $ f'(0,5)=3 $
II.$ f''(0,5)=0 [mm] \wedge f'''(0,5)\not=0 [/mm] $
************************
> 4:"die Tangente in P(2/f(2)) verläuft parallel zu der
> Geraden g(x) = 0,5x - 3"
Parallele Geraden haben dieselbe Steigung, die Tangente hat die Steigung der Funktion an der Stelle x=2
I. $ f'(2)=g'(x)=0,5 $
Ich verstehe diese formeln nicht, mit doppelndem gleich, was bedeutet das? Wie kann ich das Rechnen? Ich bin da ziemlich unsicher.
Wie kann f(x) = g(x) = 5 sein, nur so als beispiel.
Gibt es da eine ausführliche schreibweise?
Währe gut die zu wissen, oder zu verstehen wie das doppelte gleichzeichen zu verstehen ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Di 23.11.2004 | | Autor: | Youri |
Guten Abend nochmal, Dwhy!
Wollte Dich nicht verwirren. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Ich verstehe diese formeln nicht, mit doppelndem gleich,
> was bedeutet das? Wie kann ich das Rechnen? Ich bin da
> ziemlich unsicher.
Ich wollte Dir deutlich machen, woher ich die Zahlen habe -
daher habe ich Dir den Zusammenhang durch diese Gleichsetzungen
verdeutlicht. Hat wohl nicht geklappt 
> Wie kann f(x) = g(x) = 5 sein, nur so als beispiel.
> Gibt es da eine ausführliche schreibweise?
> Währe gut die zu wissen, oder zu verstehen wie das
> doppelte gleichzeichen zu verstehen ist.
Eigentlich ist das keine besondere Schreibweise.
Ich nehme mal das erste Beispiel, dass Du uns genannt hast.
Ich schrieb:
> Da die Gerade die Funktion nur in einem Punkt berührt ,
> sollte es sich bei dieser Geraden genau um die Tangente
> handeln.
> Also weißt Du zudem:
>
> 2. Bedingung: [mm]f'(-1)=g'(x)=2[/mm]
Das bedeutet in Worten:
Die Steigung der Funktion f entspricht an der Stelle x=-1 der Steigung der linearen Funktion g überall (da eine lineare Funktion an jeder Stelle dieselbe Steigung hat).
Die Steigung der Funktion g kennst Du - sie entspricht überall dem Wert "2".
Dieser Zusammenhang bedeutet also, dass die Steigung der Funktion f an der Stelle x=-1 ebenfalls den Wert "2" hat.
Damit hast Du die Bedingung: f'(-1)=2
Diese Erwähnung der Funktion g sollte Dir nur die Herleitung verdeutlichen, damit Du Dich nicht wunderst, woher nun diese Zahl kommt.
Greif Dir doch mal eine der Aufgaben, aus denen Du Deine Beispiele
gewonnen hast - und versuche Dich daran.
Und dann schreib das doch mal hier in's Forum - mit Deinen
Überlegungen.
Lieben Gruß und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Andrea.
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Guten Morgen, Dwhy,
nachdem wir nun schon so lange mit einzelnen Eigenschaften herum gedoktert haben, solltest du uns mal eine konkrete Aufgabe zeigen, an der du dich schon versucht hast.
Konkrete Funktion ?-ten Grades mit ?? Eigenschaften.
Alles hier aufschreiben und deine ersten Ansätze gemäß  Funktionsgleichung zeigen.
Dann sehen wir viel besser, wo wir dir konkret helfen können.
Hast du das dortige Beispiel mal durchgerechnet?
Und bitte: benutze unseren Formeleditor, damit wir die Formeln besser (und eindeutig) lesen können.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
in unserer 