Ermitteln einer Koordinatengl. < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Mo 09.07.2007 | | Autor: | nina13 |
| Aufgabe | a) Ermitteln sie eine Koordinatengleichung der Ebene, die den Punkt A(2/-1/-2) und die Gerade [mm] g:\overrightarrow{x} [/mm] = (3/3/1) + t*(3/0/1) ; [mm] t\varepsilon\IR [/mm] enthält.
b) Zeigen Sie, dass die Geraden [mm] g:\overrightarrow{x} [/mm] = (2/1/-3) + t*(5/-2/8) ; [mm] t\varepsilon\IR [/mm] und [mm] h:\overrightarrow{x} [/mm] = (14/-8/17) + s*(2/-5/4) ; [mm] s\varepsilon\IR [/mm] in einer Ebene liegen. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Ebene.
c) Die Punkte A(1/1/3), B(5/-3/1) und C(3/5/-1) liegen in einer Ebene. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform. |
Hallo und Hilfeeee! :-(
Ich schreibe am Mittwoch eine Klausur und wir haben unter Anderem diese Übungsaufgabe bekommen. Leider verstehe ich rein gar nichts. Ich habe nicht mal einen Ansatz. Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte!!
Nina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
irgendeinen Ansatz solltest du doch bestimmt haben=) Sei Kreativ!
> a) Ermitteln sie eine Koordinatengleichung der Ebene, die
> den Punkt A(2/-1/-2) und die Gerade [mm]g:\overrightarrow{x}[/mm] =
> (3/3/1) + t*(3/0/1) ; [mm]t\varepsilon\IR[/mm] enthält.
Was brauchst du denn für eine Ebene?
Zwei Richtungsvektoren (RV) und einen Punkt.
Durch die Gerade hast du einen Punkt und einen RV schon gegeben.
Den zweiten RV kann man doch bekommen, indem man den Stützvektor der Gerade und den anderen gegebene Punkt miteinander kombiniert!
Dann haste zwei RV und einen Stützvektor, also ne Parameterform.
Wie du von der auf ne Koord.form kommst, solltest du wissen (Kreuzprodukt der RV etc).
>
> b) Zeigen Sie, dass die Geraden [mm]g:\overrightarrow{x}[/mm] =
> (2/1/-3) + t*(5/-2/8) ; [mm]t\varepsilon\IR[/mm] und
> [mm]h:\overrightarrow{x}[/mm] = (14/-8/17) + s*(2/-5/4) ;
> [mm]s\varepsilon\IR[/mm] in einer Ebene liegen. Bestimmen Sie eine
> Gleichung dieser Ebene.
Wenn die Geraden in einer Ebene liegen sollen, so kannst du doch aus den beiden Geraden ne Ebene bauen, und dann mal gucken, ob beide Geraden in der Ebene liegen...
Oder aber du guckst, ob die beiden Geraden sich schneiden, nimmst den Schnittpunkt als Stützvektor und die beiden RV als RV der Ebene...ginge auch...
Dann hast du daraus auch schon gleichzeitig 'ne Ebenengleichung aufgestellt.
>
> c) Die Punkte A(1/1/3), B(5/-3/1) und C(3/5/-1) liegen in
> einer Ebene. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Ebene in
> Koordinatenform.
Das kriegst du bestimmt selbst hin.
Tip: Erst die Parameterform aufstellen (das kannst du hier mit den drei Punkten sofort machen!) und daraus dann die Koord.form ableiten.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mo 09.07.2007 | | Autor: | nina13 |
Danke erstmal für deine Hilfe. Aber leider versteh ich nur Banhof :-(. Was meinst du mit "den Stützvektor der Gerade mit dem anderen Punkt kombinieren"? Wie soll ich die denn kombinieren? Und wie ich von der Parameterform auf die Koordinatenform komme, weiß ich leider auch nicht :-/.
Die ganze Erklärung zu b) hab ich auch nicht verstanden. Aber kann ich da nicht einfach schauen, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind? Wenn ja, dann liegen sie doch in einer Ebene, oder?
Zu c): Ich hätte da jetzt raus [mm] -14,5x_{1}-20,5x_{2}+12x_{3}=1
[/mm]
Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Was meinst du mit "den Stützvektor der
> Gerade mit dem anderen Punkt kombinieren"? Wie soll ich die
> denn kombinieren? Und wie ich von der Parameterform auf die
> Koordinatenform komme, weiß ich leider auch nicht :-/.
Ich glaube, dein Problem liegt darin, weil du nicht genau weißt, wie die einzelnen Objekte definiert sind, bzw. was man wissen muss, damit diese Festgelegt sind?
Wenn du einen Stüzvektor hast, und einen zweiten Punkt, dann kannst du doch aus zwei Punkten einen Vektor herstellen, indem du die "Punkte" voneinander abziehst (ja, das ist nicht korrekt, die Ausdrucksweise, aber so kann mans am besten verstehen).
Dann hast du zwei Richtungsvektoren und einen Stützvektor, so dass du die Parameterdarstellung hinschreiben kannst.
Was brauchst du denn für die Koordform einer Ebene?
Richtig, den Normalenvektor der Ebene, der sowohl senkrecht auf dem einen als auch senkrecht auf dem anderen RV steht (das müsst ihr aber doch auch irgendwann mal gelernt haben?).
Diesen bekommt man, indem man das Kreuzprodukt der beiden RV bestimmt.
>
> Die ganze Erklärung zu b) hab ich auch nicht verstanden.
> Aber kann ich da nicht einfach schauen, ob die
> Richtungsvektoren linear abhängig sind? Wenn ja, dann
> liegen sie doch in einer Ebene, oder?
Fast.
Die beiden Geraden müssen sich entweder schneiden (also dürfen hierzu ihre RV keine VIelfachen voneinander sein), oder aber, die beiden Geraden müssen echt Parallel zueinander sein.
Dann ist durch die beiden Geraden eine Ebene definiert.
Stell dir mal zwei Windschiefe Geraden vor (oder nimm zwei Bleistifte oder so). Wie willst du da ne Ebene drüberlegen?
>
> Zu c): Ich hätte da jetzt raus
> [mm]-14,5x_{1}-20,5x_{2}+12x_{3}=1[/mm]
>
> Stimmt das?
Nein, es muss heißen:
[mm] $2x_1+x_2+2x_3-9=0$
[/mm]
Das kannst du übrigens auch nachprüfen, indem du deine Punkte der Reihe nach einsetzt, und guckst, ob das Ergebnis stimmt! Dort siehst du dann beim dritten Punkt, dass deine Ebene nicht passt.
LG
Kroni
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