Ermittlung von Extrempunkten < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 So 16.07.2006 | | Autor: | nina13 |
| Aufgabe | 1. Aufgabe:
Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse und die Extrempunkte:
f(x)= [mm] \wurzel{2}x-2 x^{2}
[/mm]
2. Aufgabe:
Untersuche die Funktion auf Extremwerte:
f(x)= [mm] |x^{2}-2x| [/mm] |
Könnte mir vielleicht jemand Ansätze/ Lösungen zu diesen Aufgaben liefern? Ich weiß leider gar nicht, wie ich an die Aufgaben rangehen soll. Es wäre toll, wenn jemand die Vorgehensweise beschreiben könnte, um die Aufgaben zu lösen.
Bei der 1. Aufgabe muss ich ja als erstes die Nullstellen bestimmen, eigentlich kann ich das auch, aber bei dieser Aufgabe bekomme ich das irgendwie nicht hin...
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Hallo!
> 1. Aufgabe:
>
> Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse und die
> Extrempunkte:
>
> f(x)= [mm]\wurzel{2}x-2 x^{2}[/mm]
>
>
> 2. Aufgabe:
>
> Untersuche die Funktion auf Extremwerte:
>
> f(x)= [mm]|x^{2}-2x|[/mm]
> Könnte mir vielleicht jemand Ansätze/ Lösungen zu diesen
> Aufgaben liefern? Ich weiß leider gar nicht, wie ich an die
> Aufgaben rangehen soll. Es wäre toll, wenn jemand die
> Vorgehensweise beschreiben könnte, um die Aufgaben zu
> lösen.
>
> Bei der 1. Aufgabe muss ich ja als erstes die Nullstellen
> bestimmen, eigentlich kann ich das auch, aber bei dieser
> Aufgabe bekomme ich das irgendwie nicht hin...
Naja, wo hakts denn? Hättest ja wenigstens mal deine Versuche posten können, ich weiß nämlich gar nicht, wo das Problem liegt.
[mm] \wurzel{2}x-2x^2=0 \gdw x(\wurzel{2}-2x)=0 \gdw [/mm] $x=0$ [mm] \vee \wurzel{2}-2x=0 \gdw [/mm] $x=0$ [mm] \vee 2x=\wurzel{2} \gdw [/mm] $x=0$ [mm] \vee x=\bruch{\wurzel{2}}{2}=\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Und bei der zweiten Aufgabe kannst du einfach den Betrag weglassen, denn der Betrag ist ja nur genau dann =0, wenn auch die Funktion selbst =0 ist. Oder sollst du hier gar nicht die Nullstellen berechnen?
Für die Extremwerte musst du die erste Ableitung bilden und dann diese gleich 0 setzen. Und dann die zweite Ableitung bilden und die Nullstellen der ersten Ableitung dort einsetzen. Ist die zweite Ableitung dort >0, so hast du einen Tiefpunkt, ist sie <0, einen Hochpunkt.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:37 So 16.07.2006 | | Autor: | nina13 |
Zu Aufgabe 1:
Ich hatte als Nullstellen x=0 und x=1/2 [mm] \wurzel{2} [/mm] raus. Aber laut dem Schaubild der Funktion muss es 3 Nullstellen geben. Oder verstehe ich da was falsch?
Und wie berechne ich denn dann eigentlich die Extrempunkte??
Zu Aufgabe 2:
Hier steht nichts davon, dass ich die Nullstellen berechnen soll...
Trotzdem schonmal vielen Dank!
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Hallo nochmal!
> Zu Aufgabe 1:
> Ich hatte als Nullstellen x=0 und x=1/2 [mm]\wurzel{2}[/mm] raus.
Das ist ja auch genau mein Ergebnis. 
> Aber laut dem Schaubild der Funktion muss es 3 Nullstellen
> geben. Oder verstehe ich da was falsch?
Laut meinem Schaubild muss es nur zwei Nullstellen geben. Kann doch auch gar nicht anders sein, du hast doch ein Polynom 2. Grades, und das kann maximal zwei Nullstellen haben.
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Und wie berechne ich denn dann eigentlich die
> Extrempunkte??
Das habe ich doch geschrieben. Mit der ersten und zweiten Ableitung.
> Zu Aufgabe 2:
>
> Hier steht nichts davon, dass ich die Nullstellen berechnen
> soll...
Gut, dann brauchst du ja hier nur die Ableitungen berechnen.
Viele Grüße
Bastiane
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 So 16.07.2006 | | Autor: | nina13 |
Zu Aufgabe 1:
1. Unter den Extrempunkten versteht man doch die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen, oder?
2. Ich glaube mein Problem bei der Aufgabe ist, dass ich nicht weiß, wie ich die Ableitung machen soll. Die Wurzel bereitet mir Probleme.
Wäre die 1. Ableitung denn dann
f'(x)=1/2* [mm] \wurzel{2}-4x [/mm] ???
Sollte das stimmen, wie lautet denn dann die 2. Ableitung??
Zu Aufgabe 2:
Muss ich wegen den Betragsstrichen denn etwas besonderes beachten?
Und wie finde ich denn Extremwerte, das ist doch etwa anderes als Extrempunkte, oder?
Wäre die Ableitung dann
f'(x)=2x-2
f''(x)=2
f'''(x)=0
???
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Aloa Nina,
Jaja... diese Ableitungen sind schon immer etwas knifflig am Anfang... aber das gibt sich :)
Aufgabe 1:
zu 1.: Exakt. (Ich gehe mal davon aus, dass ihr sowas wie "relative Maxima/Minima" erst etwas später behandeln werdet)
zu 2.: So wie ich das sehe, lautet die Funktion:
[tex]f(x)= \wurzel{2}x-2x^{2}[/tex] In diesem Fall steht das x offensichtlich nicht unter der Wurzel, sondern die als Vorfaktor wie etwa die "2" bei dem quadratischen Term.
Als Ableitung würde ich dann folgendes vorschlagen: [tex]f'(x)= \wurzel{2}-4x[/tex]
Du ziehst den Exponenten bei der Ableitung ja gerade vor das jeweilige Termstück und senkst den Exponenten dann um eins ab.
Aufgabe 2:
Bei der Aufgabe würde ich einfach die Betragsstriche durch ne Fallunterscheidung auflösen (1. Fall: x größer 0, 2. Fall: x kleiner als 0, 3. Fall x = 0) und dann die Teilfunktionen ableiten.
Der Extremwert ist natürlich etwas anderes als der Extrempunkt.
Durch die 1. Ableitung erhälts du einen X-Wert, der angibt, an welcher Stelle der X-Achse sich die Extrema verstecken. Welcher Art dieses Extremum ist, erkennst du, wenn du den erhaltenen X-Wert in die 2. Ableitung für X einsetzt.
Der Extremwert ist - nach meiner Ansicht - die zugehörige Y-Komponente zu deinem X-Wert (auf der X-Achse).
X-Stelle und Extremwert (Y-Wert) formieren zusammen den Extrempunkt (x,y).
Deine Ableitungen sind korrekt.
Namárie,
sagt ein Lary, wo nun weiterlernen geht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 So 16.07.2006 | | Autor: | nina13 |
Ich hab jetzt mal versucht die Aufgaben zu lösen:
Aufgabe 1:
f(x)= [mm] \wurzel{2}x-2x^2
[/mm]
f'(x)= [mm] \wurzel{2}-4x
[/mm]
f''(x)=-4
f'''(x)=0
Schnittpunkte mit der x-Achse:
0= [mm] \wurzel{2}x-2x^2
[/mm]
0=x( [mm] \wurzel{2}-2x) [/mm] --> [mm] x_{1}=0
[/mm]
0= [mm] \wurzel{2}-2x
[/mm]
2x= [mm] \wurzel{2}
[/mm]
x=1/2 [mm] \wurzel{2} [/mm] --> [mm] x_{2}=1/2\wurzel{2} [/mm]
Extrempunkte:
1. Notwendige Bedingung:
f'(x)=0
[mm] 0=\wurzel{2}-4x
[/mm]
[mm] 4x=\wurzel{2} [/mm]
[mm] x=1/4\wurzel{2} [/mm]
2. Hinreichende Bedingung:
f''(x)>0 --> Minimum
f''(x)<0 -->Maximum
[mm] f''(1/4\wurzel{2})<0 [/mm] --> Maximum --> Hochpunkt
Der Hochpunkt liegt bei [mm] (1/4\wurzel{2}/1/4).
[/mm]
Aufgabe 2:
f(x)= [mm] |x^2-2x|
[/mm]
f'(x)=2x-2
f''(x)=2
f'''(x)=0
1. Notwendige Bedingung:
f'(x)=0
0=2x-2
x=1
--> Extremwert ist -1, bzw. 1
Könnte mir vielleicht jemand sagen, ob diese Lösungen stimmen?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 So 16.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
> -
> Ich hab jetzt mal versucht die Aufgaben zu lösen:
>
> Aufgabe 1:
>
> f(x)= [mm]\wurzel{2}x-2x^2[/mm]
> f'(x)= [mm]\wurzel{2}-4x[/mm]
> f''(x)=-4
> f'''(x)=0
Hallo Nina,
Korrekt
>
> Schnittpunkte mit der x-Achse:
>
> 0= [mm]\wurzel{2}x-2x^2[/mm]
> 0=x( [mm]\wurzel{2}-2x)[/mm] --> [mm]x_{1}=0[/mm]
>
> 0= [mm]\wurzel{2}-2x[/mm]
> 2x= [mm]\wurzel{2}[/mm]
> x=1/2 [mm]\wurzel{2}[/mm] --> [mm]x_{2}=1/2\wurzel{2}[/mm]
>
Korrekt
> Extrempunkte:
>
> 1. Notwendige Bedingung:
>
> f'(x)=0
yep
>
> [mm]0=\wurzel{2}-4x[/mm]
> [mm]4x=\wurzel{2}[/mm]
> [mm]x=1/4\wurzel{2}[/mm]
Passt
>
> 2. Hinreichende Bedingung:
>
> f''(x)>0 --> Minimum
> f''(x)<0 -->Maximum
>
> [mm]f''(1/4\wurzel{2})<0[/mm] --> Maximum --> Hochpunkt
>
> Der Hochpunkt liegt bei [mm](1/4\wurzel{2}/1/4).[/mm]
>
So ist´s
>
> Aufgabe 2:
>
> f(x)= [mm]|x^2-2x|[/mm]
>
> f'(x)=2x-2
> f''(x)=2
> f'''(x)=0
>
Yep
> 1. Notwendige Bedingung:
>
> f'(x)=0
>
> 0=2x-2
> x=1
>
>
> --> Extremwert ist -1, bzw. 1
>
Passt
>
>
> Könnte mir vielleicht jemand sagen, ob diese Lösungen
> stimmen?
>
> Danke!
>
Bitte
Marius
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