Erwartungstreuer Schätzer < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:20 Di 08.01.2008 | | Autor: | Mialein |
| Aufgabe | Untersuchen Sie den bedingten Log-Likelihood-Schätzer [mm] L_{n}(\alpha)=\summe_{i=1}^{n} \delta_{i}\alpha(z_{i}|x_{i})-\integral_{0}^{z_{i}}exp(\alpha(u|x_{i}))du
[/mm]
auf Erwartungstreue. |
Zur Erklärung:
Dieser Schätzer schätzt die bedingte Log-Hazardfunktion [mm] \alpha [/mm] einer Überlebenszeit, dabei sind die [mm] z_{i} [/mm] die beobachten Überlebenszeiten von Patienten, die [mm] x_{i} [/mm] sind Kovariablenvektoren, die Patientendaten enthalten, [mm] \delta [/mm] ist ein Zensierungsindikator, der angibt, ob die Zeit tatsächlich beobachtet wurde oder ob nur bis mindestens zum Zeitpunkt [mm] z_{i} [/mm] sicher ist, dass der Patient noch lebte.
Der Schätzer wurde mit dem Prinzip der strukturellen Risikominimierung (oder auch bekannt, als Methode der Siebe) konstruiert, d.h. das nicht nur das empirische Risiko [mm] R_{emp}=E[L(\alpha^{*}(z|x),\alpha(z|x)|(z_{1}|x_{1}),...(z_{n}|x_{n}))] [/mm] ,
wobei L eine Verlustfunktion wie z.b. L(x,y)=|x-y| ist,
minimiert wird, es wird auch die Komplexität von [mm] \alpha [/mm] kontrolliert:
Hohe Komplexität wird durch einen Regularisierungsparameter im empirischen Risiko bestraft:
[mm] R_{srm}=argmin_{\alpha \in A}\frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n}L(\alpha*(z_{i}|x_{i}),\alpha(z_{i}|x_{i})+||\alpha||_{A}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] sieht dann wie folgt aus:
[mm] \alpha(z|x)=\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i}*(<(z_{i},x_{i}),(z,x)>)
[/mm]
d.h. es wird der Vektor [mm] (\alpha_{1},....,\alpha_{n}) [/mm] bestimmt.
Ich hoffe, dass ich den Zusammenhang einigermaßen verständlich zusammengefasst habe, das Ding wurde nämlich über mehrere Vorlesungen konstruiert.
Erwartungstereue haben wir, wie folgt definiert:
Ein Schätzer [mm] \theta [/mm] ist erwartungstreu, falls dessen Erwartungswert [mm] E(\theta*) [/mm] gleich dem zu schätzenden Parameter ist.
Ehrlich gesagt ist mir die Definition etwas suspekt. Wenn man den zu schätzenden Parameter kennen würde, bräuchte man ihn doch nicht zu schätzen, oder?
Ich weiß auch gar nicht, wie ich den Erwartungswert für einen Schätzer bestimmen soll.... der hat ja schließlich keine Verteilungsfunktion.
Meine Überlegungen gehen bisher so weit, dass ich sagen würde, dass der Schätzer erwartungstreu ist, da er ja mit dem Prinzip der strukturellen Risikominimierung konstruiert wurde und somit der Erwartungswert des Schätzers kontrolliert wird. Kann man das so sagen?
Für ein paar Tipps wäre ich wirklich sehr dankbar!
Viele Grüße
Mialein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Mo 14.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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