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| Aufgabe | | Sei p(l) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Seil der ganzzahligen Länge l bei Belastung mit einer gegebenen Last nicht reisst. Angenommen, es gilt [mm] p(l_1+l_2) [/mm] = [mm] p(l_1)p(l_2) [/mm] für alle ganzzahligen [mm] l_1,l_2>0 [/mm] und p(2) = [mm] \frac{1}{2}. [/mm] Können Sie daraus die erwartete Länge ermitteln, bei der das Seil reisst? |
Also die Wahrscheinlichkeit für p(l) kann man durch ein wenig rumrechnen sehr leicht ermitteln.
Es gilt: $p(l) = [mm] 2^{-l/2}$ [/mm] .
Aber wie gehts nun weiter? Einfach den Erwartungswert $E(L) = [mm] \sum_{l=1}^{\infty}lp(l)$ [/mm] bestimmen ist ja sicher falsch, zumal ja p(l) auch die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Seil nicht reisst. Nimmt man jetzt aber die Gegenwahrscheinlichkeit, divergiert die Summe, was ja sicher auch nicht Sinn der Sache ist?!?!?
Ich hoffe mir kann wer weiterhelfen.
Vielen Dank
mfg
Berndte
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Hallo und guten Morgen,
es ist doch weiterhin [mm] (p(1)=\sqrt{2} [/mm] hast Du ja schon erkannt)
[mm] p(2+d)=p(2)\cdot p(d)=\frac{1}{2} \cdot [/mm] p(d)
für [mm] d\in \IN_0,
[/mm]
somit kennst Du alle Werte:
[mm] p(2k)=2^{-k}
[/mm]
[mm] p(2k-1)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 2^{-(k-1)}
[/mm]
oder zusammengefaßt:
[mm] p(l)=2^{-l\slash 2}
[/mm]
Es ergibt sich
[mm] E=\sum_{l}l\cdot p(l)\:\: =\:\: \sum_{l\in\IN}l\cdot 2^{-l\slash 2}
[/mm]
Du kannst nun versuchen, das noch weiter auszurechnen.
Gruss,
Mathias
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