Erwartungswert < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Di 17.11.2009 | | Autor: | Georg321 |
| Aufgabe | A und B vereinbaren, eine Münze so lange zu werfen bis Wappen erscheint, maximal jedoch 5-mal. A zahlt and B für jeden Notwendigen Wurf 1 DM; ist nach dem 5. Wurf jedoch kein Wappen eingetreten muss A 7 DM bezahlen.
Wie Groß muss der Einsatz von B sein, damit die Spielregel fair ist? |
Also mir ist das Prinziep der Herangehensweise klar, jedoch der Lösungsweg nicht ganz. Wir haben die Aufgabe einst in der Schule gelöst. Aber ich sehe in diesem Lösungsweg nur bedingt eine Logik. Dann habe ich es auf meine Art und Weise gelöst, jedoch bekomme ich ein krummes ergebnis heraus.
Da man für beide Lösungswege ein Baumdiagramm zeichnet, empfehle ich für ein gutes Nachvollziehen meiner Überlegungen auch eines zu zeichnen.
(Bei Wappen hört das Diagramm verständlicherweise immer auf, und bei Zahl geht es immer weiter, bis zum 5 Versuch)
Nun zuerst die Herangehensweise im Unterricht. Man schaut sich an, welche Wahrscheinlichkeit gegeben ist eine Zahl im 1. bis 5. Wurf zu werfen, und somit 1, 2, 3, 4 oder 5 DM zu zahlen.
Es ergibt sich folgende Tabelle: links das Ereignis und rechts die Wahrscheinlichkeit
1. Wurf Zahl => 1DM : 1/2
2. Wurf Zahl => 2DM : 1/4
3. Wurf Zahl => 3DM : 1/8
4. Wurf Zahl => 4DM : 1/16
5. Wurf Zahl => 5DM : 1/32
Als Summe der Wahrscheinlichkeiten ergibt sich 31/32
=> 1/32 7 DM
Diesen letzten Schritt versteh ich überhaupt nicht. Ich bitte euch ihn mir zu erklären und zu zeigen wie dies mit dem Diagramm vereinbar ist.
Nun rechnet man:
1/2*1 + 1/4*2 + 1/8*3 + 1/16*4 + 1/32*5 + 1/32*7 = 2 DM
Da ich diese Herangehensweise nicht verstanden habe habe ich es andersrum gemacht. Ich habe mir immer angeschaut, wie groß die Wahrscheinlichkeit für Wappen ist. Man fängt an mit 1/2 für Wappen, d.h.
dafür dass A nichts zahlt also 0 DM beträgt 1/2. So geht man wie vorhin, bis einschließlich zum Wurf vor.
Es ergibt sich wieder eine Tabelle:
1. Wurf Wappen => 0DM : 1/2
2. Wurf Wappen => 1DM : 1/4
3. Wurf Wappen => 2DM : 1/8
4. Wurf Wappen => 3DM : 1/16
5. Wurf Wappen => 4DM : 1/32
und es ergibt sich laut Diagramm die Wahrscheinlichkeit 1/32 dafür, dass A 5DM + 7DM, oben drauf, bezahlt.
Nun komme ich jedoch bei der selben Rechnung wie oben auf 1,1875 anstatt auf eine schöne runde 2.
Naja hierbei wäre es nett von euch mir zu erklären was ich in meinen Überlegungen falsch gemacht habe, denn dieser Lösungsweg ist doch irgendwie logischer oder?!
PS: sry leute ich wollte die Fälligkeit eig ändern habe es vergessen und auf Senden geklickt :( Bin auch noch in ner Woche am Ergebnis interessiert.
Gruß Georg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Di 17.11.2009 | | Autor: | informix |
Hallo Georg321,
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") hier findest du einige Hinweise.
Ich habe noch nichts überprüft.
Gruß informix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:52 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Georg321 |
Hallo also die Lösung im Beitrag, auf den du mich verwiesen hast, ist ja nur die Lösung wie die meines Lehrers, d.h. es wird keine meiner Fragen beantwortet. Hoffe du findest Zeit mal drüber zu gucken.
Gruß Georg
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Habe gerade versucht deine Tabelle nachzuvollziehen und glaube dass du einen Fehler gemacht hast. Wenn ich's logisch nur nicht nachvollziehen kann, korrigiere mich bitte.
Du meinst, dass bei dem zweiten Wurf die Wahrscheinlichkeit 1/4 beträgt, dass B 1 DM zahlen muss.
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/2, dass B 1DM bekommt.
Du meinst, dass bei dem zweiten Wurf die Wahrscheinlichkeit 1/4 beträgt, dass B 1 DM zahlen muss. Sie beträgt doch aber 1/4, dass beim 2. Wurf kein Wappen geworfen wurde, und somit 3/4, dass B 2DM bekommt. Genauso bei den nächsten Würfen.
Beim 3. 7/8 3 DM, beim 4. zu 15/16 4DM, beim 5. zu 31/32 7DM.
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Habe gerade meinen Gedankenfehler gefunden und ich glaube mein Ansatz stimmt (Bekomme auch so ein Ergebnis von 2 €)
1. Wurf Wappen: B bekommt 1 € zu einer Wahrscheinlichkeit von 1/2
2. " " 2€ zu 3/4
3. " " 3 € zu 7/8
4. " " 4 € zu 15/16
5. " " 5+7=12€ zu 31/32
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1/2*1€+3/4*2€+7/8*3€+15/16*4€+31/32*12€ = 20€
22 € gibt es insgesamt :
22€-20€=2€Finde allerdings den ersten Weg leichter.
Hoffe ich konnte weiterhelfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:41 Do 19.11.2009 | | Autor: | Georg321 |
Hey danke für deine Rückmeldung. Also ich versteh jetzt bei deinem Lösungsweg nciht ganz warum du die Wahrscheinlichkeiten zusammen zählst...das ergibt sich aus dem Baumdiagram ja auch überhaupt nicht (zumindest bei mir). Dein Lösungsweg ist irgendwie noch komplizierter. :D
Also was ich bei meinem ersten Lösungsweg nicht ganz verstehe, ist der letzte Schritt. Wir schauen uns das BD ja an und stellen uns die Frage:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für A nach dem ersten Wurf 1 DM zu zahlen (Zahl fällt). Nach dem 2. Wurf 2 DM zu zahlen usw.
Nun kommen wir beim 5. Wurf an und fragen uns was nun die Wahrscheinlichkeit ist, dass A 5DM + 7DM zahlt.
So nun ergeben sich erstmal 2 Ansichtsweisen:
1. Wir sehen die Zahlung 5+7 DM als Einheit und ordnen ihr folglich die Wahrscheinlichkeit von 1/32 zu. Wenn wir dann allerdings aufsummieren fehlen uns 1/32.
Diese Ansichtsweise führt zu einem falschen Ergebnis, jedoch ist sie, finde ich, logischer, weil A nach dem 5. Fehlversuch 12 DM zahlen muss.
2. Wir sehen die Zahlung nicht als Einheit an, d.h. wir kommen auf die Wahrscheinlichkeit von 1/32, für die Zahlung von 5DM, von A an B.
Nun fehlen uns 1/32 und wir sagen einfach, dass nun die Wahrscheinlichkeit für die Zahlung von 7DM auch 1/32 beträgt. Aber Es gibt doch nur eine Zahlung, nähmlich 12DM insgesamt, von A an B, wenn der 5. Versuch scheitert. Wir zaubern also diese Trennung der Zahlungssumme einfach her und ordnen 7 DM auch eine Wahrscheinlichkeit von 1/32 zu.
Da die Zahlung von 7 und 5 DM die gleiche Wahrscheinlichkeit hat ist dies auch richtig. Jedoch entspringt die Trennung der Zahlungssumme für mich keiner Logik. Man müsste eben der Summe 1/32 zu ordnen, aber laut dieser Rechnung müsste die Wahrscheinlichkeit für 12DM nun 2/32 sein.
Das verstehe ich nicht.
3. Um nun nochmal deutlich zu machen wie ich es denn dann logisch finde:
Ich schaue mir die Gegenposition an und stelle die Frage:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A an B nach dem ersten Wurf nichts zahlen muss, d.h. Wappen fällt.
Daraus folgt für den 2. Wurf wieder die Wahrscheinlichkeit für Wappen. Wenn also beim 2. Wurf Wappen fällt, muss A an B nur 1 DM entrichten, für den 1 verstrichenen Wurf.
So ergibt sich die Tabelle von mir. Am ende habe ich eben 1/32 dafür, dass beim 5. Wurf Wappen fällt, A also 4 DM entrichten muss und 1/32 dafür, dass A 12 DM zahlen muss, also Zahl fällt.
Diese betrachtungsweise ist meines Erachtens nach Logisch und folgt eig auch dem BD. Die Frage ist nur warum ich nicht auf 2 DM komme?!
Fazit: Ansicht 1. und 3. finde ich logisch, jedoch kommt man nicht auf das richtige ergebnis. Ansicht 2. ist mir nicht verständlich, aber richtig...paradox
Wenn es nötig ist kann ich mein BD hier mal einscanen und dir schicken.
Gruß Georg
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Hallo Georg321,
> Hey danke für deine Rückmeldung. Also ich versteh jetzt
> bei deinem Lösungsweg nciht ganz warum du die
> Wahrscheinlichkeiten zusammen zählst...das ergibt sich aus
> dem Baumdiagram ja auch überhaupt nicht (zumindest bei
> mir). Dein Lösungsweg ist irgendwie noch komplizierter.
> :D
> Also was ich bei meinem ersten Lösungsweg nicht ganz
> verstehe, ist der letzte Schritt. Wir schauen uns das BD ja
> an und stellen uns die Frage:
> Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für A nach dem ersten
> Wurf 1 DM zu zahlen (Zahl fällt). Nach dem 2. Wurf 2 DM zu
> zahlen usw.
> Nun kommen wir beim 5. Wurf an und fragen uns was nun die
> Wahrscheinlichkeit ist, dass A 5DM + 7DM zahlt.
> So nun ergeben sich erstmal 2 Ansichtsweisen:
> 1. Wir sehen die Zahlung 5+7 DM als Einheit und ordnen ihr
> folglich die Wahrscheinlichkeit von 1/32 zu. Wenn wir dann
> allerdings aufsummieren fehlen uns 1/32.
> Diese Ansichtsweise führt zu einem falschen Ergebnis,
> jedoch ist sie, finde ich, logischer, weil A nach dem 5.
> Fehlversuch 12 DM zahlen muss.
nein: beim 5. Wurf gibt es für A zwei Gründe zu zahlen: entweder ZZZZW [mm] (\to [/mm] 5 DM) oder ZZZZZ [mm] \to [/mm] 7DM), aber es gibt nur eine Auszahlung!
>
> 2. Wir sehen die Zahlung nicht als Einheit an, d.h. wir
> kommen auf die Wahrscheinlichkeit von 1/32, für die
> Zahlung von 5DM, von A an B.
> Nun fehlen uns 1/32 und wir sagen einfach, dass nun die
> Wahrscheinlichkeit für die Zahlung von 7DM auch 1/32
> beträgt. Aber Es gibt doch nur eine Zahlung, nähmlich
> 12DM insgesamt, von A an B, wenn der 5. Versuch scheitert.
> Wir zaubern also diese Trennung der Zahlungssumme einfach
> her und ordnen 7 DM auch eine Wahrscheinlichkeit von 1/32
> zu.
> Da die Zahlung von 7 und 5 DM die gleiche
> Wahrscheinlichkeit hat ist dies auch richtig. Jedoch
> entspringt die Trennung der Zahlungssumme für mich keiner
> Logik. Man müsste eben der Summe 1/32 zu ordnen, aber laut
> dieser Rechnung müsste die Wahrscheinlichkeit für 12DM
> nun 2/32 sein.
> Das verstehe ich nicht.
>
> 3. Um nun nochmal deutlich zu machen wie ich es denn dann
> logisch finde:
> Ich schaue mir die Gegenposition an und stelle die Frage:
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A an B nach dem
> ersten Wurf nichts zahlen muss, d.h. Wappen fällt.
> Daraus folgt für den 2. Wurf wieder die
> Wahrscheinlichkeit für Wappen. Wenn also beim 2. Wurf
> Wappen fällt, muss A an B nur 1 DM entrichten, für den 1
> verstrichenen Wurf.
> So ergibt sich die Tabelle von mir. Am ende habe ich eben
> 1/32 dafür, dass beim 5. Wurf Wappen fällt, A also 4 DM
> entrichten muss und 1/32 dafür, dass A 12 DM zahlen muss,
> also Zahl fällt.
> Diese betrachtungsweise ist meines Erachtens nach Logisch
> und folgt eig auch dem BD. Die Frage ist nur warum ich
> nicht auf 2 DM komme?!
>
>
> Fazit: Ansicht 1. und 3. finde ich logisch, jedoch kommt
> man nicht auf das richtige ergebnis. Ansicht 2. ist mir
> nicht verständlich, aber richtig...paradox
>
> Wenn es nötig ist kann ich mein BD hier mal einscanen und
> dir schicken.
>
> Gruß Georg
Gruß informix
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Hallo Georg321,
> A und B vereinbaren, eine Münze so lange zu werfen bis
> Wappen erscheint, maximal jedoch 5-mal. A zahlt and B für
> jeden Notwendigen Wurf 1 DM; ist nach dem 5. Wurf jedoch
> kein Wappen eingetreten muss A 7 DM bezahlen.
> Wie Groß muss der Einsatz von B sein, damit die
> Spielregel fair ist?
> Also mir ist das Prinziep der Herangehensweise klar,
> jedoch der Lösungsweg nicht ganz. Wir haben die Aufgabe
> einst in der Schule gelöst. Aber ich sehe in diesem
> Lösungsweg nur bedingt eine Logik. Dann habe ich es auf
> meine Art und Weise gelöst, jedoch bekomme ich ein krummes
> ergebnis heraus.
>
> Da man für beide Lösungswege ein Baumdiagramm zeichnet,
> empfehle ich für ein gutes Nachvollziehen meiner
> Überlegungen auch eines zu zeichnen.
>
> (Bei Wappen hört das Diagramm verständlicherweise immer
> auf, und bei Zahl geht es immer weiter, bis zum 5 Versuch)
>
> Nun zuerst die Herangehensweise im Unterricht. Man schaut
> sich an, welche Wahrscheinlichkeit gegeben ist eine Zahl im
> 1. bis 5. Wurf zu werfen, und somit 1, 2, 3, 4 oder 5 DM zu
> zahlen.
> Es ergibt sich folgende Tabelle: links das Ereignis und
> rechts die Wahrscheinlichkeit
>
> 1. Wurf Zahl => 1DM : 1/2
> 2. Wurf Zahl => 2DM : 1/4
> 3. Wurf Zahl => 3DM : 1/8
> 4. Wurf Zahl => 4DM : 1/16
> 5. Wurf Zahl => 5DM : 1/32
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") aber:
da beim 5. Wurf auf jeden Fall Schluss ist, musst du noch 7DM mit 1/32 ansetzen.
>
> Als Summe der Wahrscheinlichkeiten ergibt sich 31/32
hieran erkennst (wie Walde hier erklärt), dass du nicht alle Fälle aufgeführt hast.
> => 1/32 7 DM
[mm] \begin{array}{|c|c|c|c|} Ereignis & Ausz.A & P(A=a_i)&a_i*P(A=a_i) \\\hline W & 1&\bruch{1}{2}& \bruch{1}{2}\\ ZW & 2&(\bruch{1}{2})^2&2* (\bruch{1}{2})^2\\ZZW & 3&(\bruch{1}{2})^3&3* (\bruch{1}{2})^3\\ZZZW & 4&(\bruch{1}{2})^4&4* (\bruch{1}{2})^4\\ZZZZW & 5&(\bruch{1}{2})^5&5* (\bruch{1}{2})^5\\ ZZZZZ & 7&(\bruch{1}{2})^5&7* (\bruch{1}{2})^5\\\end{array}
[/mm]
>
> Diesen letzten Schritt versteh ich überhaupt nicht. Ich
> bitte euch ihn mir zu erklären und zu zeigen wie dies mit
> dem Diagramm vereinbar ist.
Am Schluss des Baumes hast du einfach die beiden Pfade zu betrachten, weil sowohl bei W als auch bei Z Schluss ist, aber unterschiedlich ausgezahlt wird.
>
> Nun rechnet man:
> 1/2*1 + 1/4*2 + 1/8*3 + 1/16*4 + 1/32*5 + 1/32*7 = 2 DM
>
> Da ich diese Herangehensweise nicht verstanden habe habe
> ich es andersrum gemacht. Ich habe mir immer angeschaut,
> wie groß die Wahrscheinlichkeit für Wappen ist. Man
> fängt an mit 1/2 für Wappen, d.h.
> dafür dass A nichts zahlt also 0 DM beträgt 1/2. So geht
> man wie vorhin, bis einschließlich zum Wurf vor.
> Es ergibt sich wieder eine Tabelle:
>
> 1. Wurf Wappen => 0DM : 1/2
> 2. Wurf Wappen => 1DM : 1/4
> 3. Wurf Wappen => 2DM : 1/8
> 4. Wurf Wappen => 3DM : 1/16
> 5. Wurf Wappen => 4DM : 1/32
>
> und es ergibt sich laut Diagramm die Wahrscheinlichkeit
> 1/32 dafür, dass A 5DM + 7DM, oben drauf, bezahlt.
nein, nach dem 5. Wurf zahlt er entweder 5 oder 7 DM je nach Ergebnis des Wurfes, aber nicht "7 obendrauf", weil ja das Ergebnis für die Auszahlung für 5 nicht eingetreten ist.
Jetzt klar(er)?
> Nun komme ich jedoch bei der selben Rechnung wie oben auf
> 1,1875 anstatt auf eine schöne runde 2.
> Naja hierbei wäre es nett von euch mir zu erklären was
> ich in meinen Überlegungen falsch gemacht habe, denn
> dieser Lösungsweg ist doch irgendwie logischer oder?!
>
> PS: sry leute ich wollte die Fälligkeit eig ändern habe
> es vergessen und auf Senden geklickt :( Bin auch noch in
> ner Woche am Ergebnis interessiert.
>
> Gruß Georg
Gruß informix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Do 19.11.2009 | | Autor: | Georg321 |
Hey danke dieser eine Satz "nein: beim 5. Wurf gibt es für A zwei Gründe zu zahlen: entweder ZZZZW $ [mm] (\to [/mm] $ 5 DM) oder ZZZZZ $ [mm] \to [/mm] $ 7DM), aber es gibt nur eine Auszahlung!" hats eig schon geklärt wo mein Denkfehler ist. Genauer gesagt ZZZZZ und ZZZZW. Also habe ich die Aufgabenstellung schlicht und ergreifend falsch verstanden, denn ich habe übersehen, dass A an B auch für den 1. Wurf Wappen 1 Mark zahlen muss.
Vielen lieben Dank
Georg
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