Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Fr 21.01.2011 | | Autor: | kalor |
Guten Abend!
Es geht mir um die Definition des Erwartungswertes:
[mm] E(X) = \integral_{\Omega}{X(w) dP(w)} = \integral_{\IR}{x d\mu{(x)}}[/mm] wobei $\ X $ eine Zufallsvariable ist und $\ P $ ein Wahrscheinlichkeitsmass auf einem Wahrscheinlichkeitsraum. $\ [mm] \mu [/mm] $ bezeichnet dabei die Verteilung. Dass obige Gleichung gilt, folgt ja aus dem Transformationssatz. Nun kommt aber meine Frage. Wenn $\ X $ eine Dichte $\ f $ besitzt gilt ja angeblich:
[mm] E(X) = \integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx} [/mm]
Woraus folgt dies? Hier ist ja das Riemann-Integral gemeint. Oder ist dies einfach eine neuerliche Definition?
mfg
KaloR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Fr 21.01.2011 | | Autor: | dormant |
> Guten Abend!
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> Es geht mir um die Definition des Erwartungswertes:
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> [mm]E(X) = \integral_{\Omega}{X(w) dP(w)} = \integral_{\IR}{x d\mu{(x)}}[/mm]
> wobei [mm]\ X[/mm] eine Zufallsvariable ist und [mm]\ P[/mm] ein
> Wahrscheinlichkeitsmass auf einem Wahrscheinlichkeitsraum.
> [mm]\ \mu[/mm] bezeichnet dabei die Verteilung. Dass obige Gleichung
> gilt, folgt ja aus dem Transformationssatz. Nun kommt aber
> meine Frage. Wenn [mm]\ X[/mm] eine Dichte [mm]\ f[/mm] besitzt gilt ja
> angeblich:
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> [mm]E(X) = \integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}[/mm]
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> Woraus folgt dies? Hier ist ja das Riemann-Integral
> gemeint. Oder ist dies einfach eine neuerliche Definition?
Das ist ein R-Integral, was eben das tolle ist - das kann man ausrechnen. Dieser Ausdruck ist auch die Definition der Dichtefunktion f. Wenn es so eine Funktion gibt, dass der Integral auf der rechten Seite gleich dem Erwartungswert ist, so ist das die eindeutige Dichtefunktion der ZV. Es gibt Verteilungen, ohne Dichtefunktion.
> mfg
>
> KaloR
dormant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 So 23.01.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ist
[mm] $$\mu(A)=\int_A [/mm] f(x)dx $$
also $f(x)$ die Dichte zum Maß [mm] $\mu$ [/mm]
--> Satz von Radon Nikodym:
[mm] $$\int xd\mu [/mm] = [mm] \int [/mm] xf(x)dx$$
oder wie mein Vorredner schon sagte wenn das Integral gleich ist, dann ist $f(x)$ die Dichte
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