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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Do 18.10.2012 | | Autor: | BJJ |
| Aufgabe | Sei E der Euklidische Raum und p eine Verteilung auf E. Weiter sei U eine messbare Teilmenge von E. Dann ist
[mm] \mu_U [/mm] = a [mm] \int_{U} [/mm] x p(x) dx
der Erwartungswert, wobei der Faktor a die Dichte p(x) zu einer Verteilung auf U skaliert. Wie lässt sich der Erwartungswert [mm] \mu_U [/mm] mit Hilfe des Erwartungswerts [mm] \mu [/mm] der gesamten Verteilung über E ausdrücken? |
Mein Lösungsansatz scheint nicht korrekt zu sein:
Sei V = E \ U das Komplement von U in E. Dann gilt
[mm] \int_{U} [/mm] x p(x) dx = [mm] \int_{E} [/mm] x p(x) dx - [mm] \int_{V} [/mm] x p(x) dx
Da [mm] \mu [/mm] = [mm] \int_{E} [/mm] x p(x) dx haben wir
[mm] \int_{U} [/mm] x p(x) dx = [mm] \mu [/mm] - [mm] \int_{V} [/mm] x p(x) dx.
Nun ist
[mm] \mu_V [/mm] = b [mm] \int_{V} [/mm] x p(x) dx
der Erwartungswert in V, wobei b die Dichte p(x) auf E zu einer Dichte auf V skaliert. Wir können b als Wahrscheinlichkeit interpretieren, dass x in V ist.
Wir haben dann
[mm] \int_{U} [/mm] x p(x) dx = [mm] \mu [/mm] - [mm] \mu_V/b
[/mm]
Daraus folgt
[mm] \mu_U [/mm] = [mm] (\mu [/mm] - [mm] \mu_V/b)/a.
[/mm]
Das Ergebnis erscheint mir komisch. Denn wenn p eine univariate Normalverteilung mit Mittelwert [mm] \mu [/mm] = 2 ist, und man schneidet die Normalverteilung bei x = 1 ab so dass U = {x | x [mm] \geq [/mm] 1} ist, dann erwarte ich, dass der Erwartungswert [mm] \mu_U [/mm] meiner abgeschnittenen Verteilung irgendwo in den Tail der Verteilung verschoben wird, also [mm] \mu_U [/mm] > 2 ist.
Nach meiner Berechnung kann er sich aber genauso gut nahe bei 0 befinden. Wo ist denn da mein Fehler?
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Hiho,
> Wo ist denn da mein Fehler?
dein Fehler ist in der letzten Umformung, wo du [mm] \mu_U [/mm] falsch einsetzt.
Schau dir den Schritt nochmal an.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Do 18.10.2012 | | Autor: | BJJ |
Vielen Dank für Deine Hilfe.
Stimmt da ist ein Fehler. Es müsste korrekt heißen
[mm] \mu_U [/mm] = [mm] a*(\mu [/mm] - [mm] \mu_V/b)
[/mm]
Trotzdem erschein mir das unplausibel. Wenn man eine Normalverteilung mit Mittelwert [mm] \mu [/mm] = 2 an der Stelle x = 1 abschneidet, erwarte ich [mm] \mu_U [/mm] im Tail der Verteilung. Folgt das auch aus der Gleichung?
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Hiho,
rechne es doch einfach mal nach!
Setze $U = [mm] [1,\infty), V=(-\infty,1)$, [/mm] bzw umgekehrt (je nachdem was du meinst).
Was ist dann [mm] $a,b,\mu_V,\mu_U$?
[/mm]
Und: Stell neue Fragen doch bitte als neue Frage und nicht einfach alte auf unbeantwortet setzen und ne Mitteilung schreiben.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Do 18.10.2012 | | Autor: | BJJ |
Herzlichen Dank, ich habe es jetzt.
Die Gleichung war
[mm] \mu_U [/mm] = [mm] a\cdot(\mu [/mm] - [mm] \mu_V/b).
[/mm]
Nun kann man a = 1/P auffassen, wobei P die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass x in U ist. Damit ist 1/b = 1-P, weil V das Komplement von U ist. Wir erhalten
[mm] \mu_U [/mm] = [mm] (\mu [/mm] - [mm] (1-P)\mu_V)/P
[/mm]
Etwas umarrangieren liefert:
[mm] \mu_U [/mm] = [mm] \mu_V [/mm] + [mm] (\mu [/mm] - [mm] \mu_V)/P [/mm] > [mm] \mu
[/mm]
Richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Do 18.10.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Etwas umarrangieren liefert:
>
> [mm]\mu_U[/mm] = [mm]\mu_V[/mm] + [mm](\mu[/mm] - [mm]\mu_V)/P[/mm] > [mm]\mu[/mm]
Das Umstellen stimmt. Ob das wirklich größer als [mm] \mu [/mm] ist, hängt natürlich von der Wahl von U und V ab.
Ohne dass die festgelegt sind, lässt sich keine Aussage darüber treffen.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Do 18.10.2012 | | Autor: | BJJ |
Reicht es denn nicht aus zu sagen, dass U eine echte, nichtleere Teilmenge von E ist? Denn P ist ja nach Konstruktion die Wahrscheinlichkeit dafür, dass x in U ist (1/P skaliert p(x) zu einer Dichte auf U). Damit ist P > 0 weil U ungleich leere Menge und P < 1 weil U echte Teilmenge. Also ist 1/P > 1 und die Ungleichung folgt.
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Hiho,
> Reicht es denn nicht aus zu sagen, dass U eine echte,
> nichtleere Teilmenge von E ist? Denn P ist ja nach
> Konstruktion die Wahrscheinlichkeit dafür, dass x in U ist
> (1/P skaliert p(x) zu einer Dichte auf U). Damit ist P > 0
> weil U ungleich leere Menge und P < 1 weil U echte
> Teilmenge. Also ist 1/P > 1 und die Ungleichung folgt.
nein, dass das nicht sein kann, zeigt ja bereits dein Beispiel.
Du hast jetzt da stehen:
[mm] $\mu_U [/mm] > [mm] \mu$
[/mm]
Für $U = [mm] (-\infty,-1]$ [/mm] kann das bei einer Standardnormalverteilung offensichtlich nicht gelten, da dort [mm] $\mu [/mm] = 0$ aber [mm] $\mu_U [/mm] < 0$ sofort folgt.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Do 18.10.2012 | | Autor: | BJJ |
ja klar. vielen dank für Deine Hilfe.
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