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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für zwei diskrete Zufallsvariablen X, Y gilt:
E(X+Y)=E(X)+E(Y) |
Unsere Def des Erwartungswertes lautet:
[mm] \summe_{x} [/mm] xP(X=x)
Also grundsätzlich ist mir klar was ich machen muss, ich soll als erstes die Definition auf E(X+Y) anwenden, dann das entstandene so auseinanderbauen dass ich am Schluss zwei Summen habe, die E(X)+E(Y) entsprechen. Leider hängt es bei mir gerade an dem ersten Schritt ich weiß nicht wie ich beide ZUfallsvariabeln in eine Summe bekomme.
Würde es reichen, falls ich sage: [mm] E(X+Y)=\summe_{x}xP(X=x)+\summe_{y}yP(Y=y)=E(X)+E(Y)
[/mm]
Oder fehlt da dann ein Schritt, in dem die beiden Summen zusammengefasst waren?
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OK, ich denke ich habe die Lösung: E(X+Y)= [mm] \summe_{i=1}^{k}xi*P(X=xi)+yi*P(Y=yi)= \summe_{i=1}^{k}xi*(P(X=xi)+ \summe_{i=1}^{k}yi*P(Y=yi)=E(X+Y)
[/mm]
Ich würde mich über eine Rückmeldung freuen, ob ich das hiermit wirklich hinreichend gezeigt habe.
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Du hast versucht zu gezeigen: [mm] $\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X+Y]$?
[/mm]
Das erste "=" ist so nicht haltbar, da du die Linearität verwendest, die du zeigen sollst.
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Ja mit dem ersteren hats geklappt, das zweite durfte ich leider nicht verwenden 
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Definiere [mm]Z:=X+Y[/mm] und setze dann die Definition ein, etwa:
[mm]\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[Z]=\sum_z zP(Z=z)=\ldots[/mm]
Einfacher ist es aber die Definition
[mm]\mathbb{E}[X]=\sum_{\omega\in \Omega}X(\omega)P(\omega)[/mm]
zu verwenden.
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