Erwartungswert bei Glücksspiel < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Liese |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ausgangsbasis ist ein Glücksspiel, bei dem zwei Würfel gleichzeitig geworfen werden und auf die Augensumme dieser Würfel gesetzt wird. Im Gewinnfall soll - egal auf welche Zahl gesetzt wurde - immer die gleiche Ausschüttung (das 5fache etwa) erfolgen.
Das Spiel soll fair sein.
eigener Ansatz:
1. Der Erwartungswert muss (faires Spiel) gleich 0 sein.
2. Für jede Zahl (bzw. je zwei Zahlen außer der 7) gibt es
eine spezifische Auszahlung, mit der das Spiel fair
wäre.
3. Da der Gewinn als Vielfaches des Einsatzes angegeben
wird, kann von einem Einsatz von 1 ausgegangen werden.
Bsp: Setzen auf die 4
E(X)=0 => p(4)*Gewinn = p(nicht4)*Einsatz
=> [mm] \bruch{3}{36} [/mm] * Gewinn = [mm] \bruch{33}{36} [/mm] *1
=> Gewinn = [mm] \bruch{33}{3} [/mm] = 11
Bei Setzen auf die 4 müsste also das 11fache des Einsatzes gezahlt werden.
Wie kann ich nun eine durchschnittliche Gewinnausschüttung errechnen, die auf lange Sicht fair ist?
konkrete Überlegungen:
a) Kommt es dabei nicht auf die Anzahl der Mitspieler an?
b) Dürften diese dann auch alle auf eine Zahl setzen? Das
kann ja nicht sein, oder? Denn wenn (Annahme) alle auf
die 7 setzen und der Gewinn fair berechnet wurde, macht
die Bank auf lange Sicht nur Verluste.
c) Ich habe überlegt, dass ich von einem Gewinn für die
wahrscheinlichste Zahl (=7) ausgehe. Der Gewinn hier
müsste 5fach sein. Alles was darunter ist, wäre für die
Spieler negativ, da dann E(X) < 0 für alle anderen
Zahlen.
d) Kann ich über die einzelnen Gewinnausschüttungen
mitteln? Dzau muss doch eine Gewichtung entsprechend
der unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten des
Auftauchens erfolgen - dann kommt bei mir aber immer
nur eine wahre Aussage raus, wenn ich rechne.
e) Ich habe auch versucht, den Erwartungswert so zu
berechnen [mm] (z_i [/mm] sei das jeweils ausgezahlte Vielfache,
also der Gewinn:
E(X)=0 (da das Spiel fair sein soll)
=> [mm] \summe_{i=1}^{n} p_i(x_i)*z_i [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} p_i(nicht x_i)*1
[/mm]
Dann kommt aber auch nichts raus.
Eigentlich hatte ich das mal ganz klar, aber jetzt ist ein Knoten im Kopf, den ich nicht raus bekomme.
Ich freue mich über jede Hilfe und danke schon mal dafür
Liese
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Fr 20.04.2007 | | Autor: | colly |
Zu deinen Vorüberlegungen:
Es kommt weder auf die Anzahl der Mitspieler noch auf die konkrete Zah, auf die sie setzen an, weil dies keinerlei Einfluss auf den Erwartungswert hat, und mit einem E(x)=0 macht die Bank über kurz und lang auch keine Verluste.
Deine Vorüberlegung d bringt den richtigen Ansatz:
Zuerst wird für jede Zahl die spezifische Gewinnausschüttung berechnet (der Einsatz sei e, der Gewinn g, die Zahl z):
0 = p(z)*g + p(nicht z)*(-a)
<=> p(nicht z)*a = p(z)*g
für z = 2 und z = 12 : 35a = g
für z = 3 und z = 11 : 17a = g
für z = 4 und z = 10 : 11a = g
für z = 5 und z = 9 : 8a = g
für z = 6 und z = 8 : (31/5)a = g
für z = 7 : 5a = g
Das Mittel der Gewinnausschüttung berechnest du, indem du die Summe aus der Wahrscheinlichkeit für die jeweilige Zahl mit der dazugehörigen spezifischen Gewinnausschüttung multipliziert ermittelst:
mittlere Gewinnausschüttung = 35a*p(2) + 17a*p(3) + 11a*p(4) + 8a*p(5) + (31/5)a*p(6) + 5a*p(7) + (31/5)a*p(8) + 8a*p(9) + 11a*p(10) + 17a*p(11) + 35a*p(12) = (360/36)a = 10a
Es muss also im Mittel das Zehnfache des Einsatzes wieder ausgezahlt werden.
Hoffe das ist alles verständlich, bei Fragen bitte an mich persönlich wenden... colly
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Liese |
| Aufgabe | Ausgangsbasis ist ein Glücksspiel, bei dem zwei Würfel gleichzeitig geworfen werden und auf die Augensumme dieser Würfel gesetzt wird. Im Gewinnfall soll - egal auf welche Zahl gesetzt wurde - immer die gleiche Ausschüttung (das 5fache etwa) erfolgen.
Das Spiel soll fair sein.
eigener Ansatz:
1. Der Erwartungswert muss (faires Spiel) gleich 0 sein.
2. Für jede Zahl (bzw. je zwei Zahlen außer der 7) gibt es
eine spezifische Auszahlung, mit der das Spiel fair
wäre.
3. Da der Gewinn als Vielfaches des Einsatzes angegeben
wird, kann von einem Einsatz von 1 ausgegangen werden.
Bsp: Setzen auf die 4
E(X)=0 => p(4)*Gewinn = p(nicht4)*Einsatz
=> * Gewinn = *1
=> Gewinn = = 11
Bei Setzen auf die 4 müsste also das 11fache des Einsatzes gezahlt werden.
Wie kann ich nun eine durchschnittliche Gewinnausschüttung errechnen, die auf lange Sicht fair ist?
konkrete Überlegungen:
a) Kommt es dabei nicht auf die Anzahl der Mitspieler an?
b) Dürften diese dann auch alle auf eine Zahl setzen? Das
kann ja nicht sein, oder? Denn wenn (Annahme) alle auf
die 7 setzen und der Gewinn fair berechnet wurde, macht
die Bank auf lange Sicht nur Verluste.
c) Ich habe überlegt, dass ich von einem Gewinn für die
wahrscheinlichste Zahl (=7) ausgehe. Der Gewinn hier
müsste 5fach sein. Alles was darunter ist, wäre für die
Spieler negativ, da dann E(X) < 0 für alle anderen
Zahlen.
d) Kann ich über die einzelnen Gewinnausschüttungen
mitteln? Dzau muss doch eine Gewichtung entsprechend
der unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten des
Auftauchens erfolgen - dann kommt bei mir aber immer
nur eine wahre Aussage raus, wenn ich rechne.
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Hallo Colli,
erst mal vielen Dank für deine Hilfe!
Wenn ich den Durchschnittsgewinn aber so berechne, wie du vorschägst, dann wird das u.U. KEIN faires Spiel. Die Spieler müssen nur immer auf die 7 setzen und je das 10fache kassieren, dann macht die Bank nie Gewinn (langfristig). Ich befürchte, dass sich bei diesem Spiel gar kein Durchschnitt sinnvoll errechnen lässt, da die Unterschiede in den Wahrscheinlichkeiten zu groß sind. Wo ist der Haken an meiner Überlegung?
Vielen Dank schon mal für jede Hilfe
Liese
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Mo 23.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin!
wenn du davon ausgehst, dass die spieler immer nur auf die 7 setzen, macht es keinen sinn die wahrscheinlichkeiten für andere Zahlen aufzuaddieren!
du gehst von der annahme aus, dass die spieler im prinzip zufallsverteilt mal die 2 setzen, mal die 5 usw.
gruß
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Di 24.04.2007 | | Autor: | Liese |
Hallo und Danke!
Ich glaube das war der Knoten im Kopf: Wenn ich nicht als Voraussetzung habe, dass die SpielerInnen zufallsverteilt setzen, dann macht die Aufgabe keinen Sinn. Klar. Dankeschön. Jetzt kann ich mit Collis detaillierter Antwort das Thema für mich gut abschließen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 Do 26.04.2007 | | Autor: | colly |
Im Normalfall hat die Bank bei solchen Spielen auch Jemanden, der aufpasst, dass die Spieler nicht nach System spielen...
Die Bank passt da schon auf, dass sie nicht nur Veruste macht. Aber du hast Recht, wenn ein Spieler immer auf die sieben setzt ist das für die Bank nicht fair, weil sie Verluste macht. Wenn andererseits Jemand, der noch nicht hinter diese Rechnung gekommen ist, immer auf seine Lieblingszahl setzt und diese kleiner ist als 5 oder größer als 9, dann macht diese Person auf Dauer nur Verluste und es wäre unfair für diese Person...
Du musst das von beiden Seiten betrachten.
Kein Problem... Colly
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