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| Aufgabe | Wieviel streut der Mittelwert einer Stichprobe aus n Beobachtungen um den (wahren) Erwartungswert?
Berechnen Sie dazu die Standardabweichung von [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}X_{i} [/mm] bei unabhängig identisch
verteilten Zufallsvariablen [mm] X_{i} [/mm] |
hallo,
ich wollte fragen wie ich da rangehen soll, wenn ich sowas habe?!
ich weiß zumindest schonmal, dass die standardabweichung die wurzel aus der varianz ist, jedoch hab ich bisher weder erwartungswert noch die varianz.
ich konnte die lösung noch so weit nachvollziehen, dass der erwartungswert einfach mal [mm] \mu [/mm] benannt wurde, bzw die varianz mit [mm] \delta²
[/mm]
nun wird jedoch der erwartungswert von [mm] \overline{X} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}E(X_{i}) [/mm] berechnet.
da ergibt dann [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\mu [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}*n*\mu
[/mm]
hier mein erstes großes fragezeichen, wo kommt auf einmal das n her, dass das mü einfach als vorher definierter erwartungswert übernommen wird ist klar, doch wo kommt das n auf einmal her ?
dann wird die [mm] Var(\overline{X}) [/mm] berechnet, [mm] Var(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}X_{i}), [/mm] was offenbar nach einem unserer schlauen definitionen [mm] \bruch{1}{n^{2}}Var(\summe_{i=1}^{n}X_{i}) [/mm] ist.
und nun nochmal so ne frage, wo einfach wieder n auftaucht, und zwar wenn man das ganze auflöst und zu [mm] \bruch{1}{n^{2}}Var(\summe_{i=1}^{n}X_{i})=\bruch{1}{n^{2}}*n*\delta^{2}
[/mm]
hier wieder auf einmal ein n und ich habe keine ahnung, wo es herkommt, das die varianz sich zu [mm] \delta² [/mm] ergibt is mir auch klar, das wurde vorher auch definiert.
naja ich hoffe ihr versteht mein problem und danke schonmal für hilfe
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 Do 19.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wieviel streut der Mittelwert einer Stichprobe aus n
> Beobachtungen um den (wahren) Erwartungswert?
> Berechnen Sie dazu die Standardabweichung von
> [mm]\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}X_{i}[/mm] bei unabhängig
> identisch
> verteilten Zufallsvariablen [mm]X_{i}[/mm]
>
> ich wollte fragen wie ich da rangehen soll, wenn ich sowas
> habe?!
>
> ich weiß zumindest schonmal, dass die standardabweichung
> die wurzel aus der varianz ist, jedoch hab ich bisher weder
> erwartungswert noch die varianz.
>
> ich konnte die lösung noch so weit nachvollziehen, dass
> der erwartungswert einfach mal [mm]\mu[/mm] benannt wurde, bzw die
> varianz mit [mm]\delta²[/mm]
>
> nun wird jedoch der erwartungswert von [mm]\overline{X}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}E(X_{i})[/mm] berechnet.
> da ergibt dann [mm]\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\mu[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n}*n*\mu[/mm]
>
> hier mein erstes großes fragezeichen, wo kommt auf einmal
> das n her, dass das mü einfach als vorher definierter
> erwartungswert übernommen wird ist klar, doch wo kommt das
> n auf einmal her ?
Es ist ja [mm] $E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i) [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i)$. [/mm] Da die [mm] $X_i$ [/mm] identisch verteilt ist, ist [mm] $E(X_i) [/mm] = [mm] \mu$ [/mm] unabhaengig von $i$. Deswegen ist [mm] $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mu [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \cdot [/mm] n [mm] \mu$: [/mm] in der Summe taucht das [mm] $\mu$ [/mm] ja genau $n$-mal auf, daher kommt das $n$.
> dann wird die [mm]Var(\overline{X})[/mm] berechnet,
> [mm]Var(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}X_{i}),[/mm] was offenbar nach
> einem unserer schlauen definitionen
> [mm]\bruch{1}{n^{2}}Var(\summe_{i=1}^{n}X_{i})[/mm] ist.
>
> und nun nochmal so ne frage, wo einfach wieder n auftaucht,
> und zwar wenn man das ganze auflöst und zu
> [mm]\bruch{1}{n^{2}}Var(\summe_{i=1}^{n}X_{i})=\bruch{1}{n^{2}}*n*\delta^{2}[/mm]
>
> hier wieder auf einmal ein n und ich habe keine ahnung, wo
> es herkommt, das die varianz sich zu [mm]\delta²[/mm] ergibt is mir
> auch klar, das wurde vorher auch definiert.
Nun, da die [mm] $X_i$ [/mm] unabhaengig sind ist [mm] $Var(\sum_{i=1}^n X_i) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n Var(X_i)$. [/mm] Da die [mm] $X_i$ [/mm] identisch verteilt ist, ist [mm] $Var(X_i) [/mm] = [mm] \delta^2$ [/mm] unabhaengig von $i$. Deswegen ist [mm] $\sum_{i=1}^n Var(X_i) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \delta^2 [/mm] = n [mm] \delta^2$: [/mm] in der Summe taucht das [mm] $\delta^2$ [/mm] ja genau $n$-mal auf.
Hilft dir das weiter?
LG Felix
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ja, ich hatte schon so einen gedanken, dass es sich dabei um etwas mit der summe handelt.
vielen dank
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