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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Sa 07.04.2007 | | Autor: | AndyH |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] [\IQ(\wurzel{2}):\IQ] [/mm] |
Der Grad ist ja die Dimension, der Körpererweiterung.
Ich vermute, dass der Grad 2 ist, da ja [mm] (\bruch{a}{b}, \wurzel{2}) [/mm] eine Basis ist mit a, b [mm] \in \IQ.
[/mm]
Ist das korrekt, wenn ja genügt es, das so aufzuschreiben?
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Hallo,
hattet ihr denn den Satz, dass man vom Grad des Minimalpolynoms auf den Grad der Körpererweiterung schließen kann?
Das Minimalpolynom ist ja in deinem Fall [mm] x^{2}-2, [/mm] denn es hat [mm] \wurzel{2} [/mm] als Nullstelle. Die Elemente der Basis sind ja 1 und [mm] \wurzel{2}. [/mm] Der Grad des Minimalpolynoms ist 2 und demnach auch der Grad der Körpererweiterung. Ist das klar soweit? Unser Prof hat den Satz, den ich oben ansprach stets "Satz mit Ausrufezeichen" genannt und wollte uns wohl damit sagen, der sei sehr wichtig! 
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 So 08.04.2007 | | Autor: | AndyH |
Nein, leider hatten wir diesen satz noch nicht. Es muss irgendwie "zu Fuß" gehen. Bin aber leider auch noch nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 So 08.04.2007 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Dein erster Ansatz isst eigentlich nicht falsch. Die Frage ist nur, was hier mit "zu Fuss" gemeint ist. Um zu zeigen, dass [mm] $(a,\sqrt{2} [/mm] b)$ eine Basis ist, reicht es nach Lorentz §2 F3 wenn man zeigt, dass [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] nich in [mm] $\IQ$ [/mm] liegt. Nach diesem Satz ist nämlich dann
$1, [mm] \sqrt{2}, \sqrt{2}^2=1,\sqrt{2}^3=\sqrt{2}, [/mm] ... $ wieder eine Basis und das sind 2 verschiedene Elemente...
Der Grad ist damit 2.
Eine Folgerung daraus ist dann der Satz vom Minimalpolynom. Im Prinzip war deine Lösung schon richtig, aber mir hätte noch gefehlt, warum das ne Basis ist. Denn bei [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2})$ [/mm] ist der Grad ja auch nicht 2.
Gruß Micha
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