Erzeugendensystem < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Mi 05.06.2019 | | Autor: | Olli1968 |
| Aufgabe 1 | Seien [mm]V=\IR^{3}[/mm], [mm]X:=\{1, -1, 0), (0, 1, -1), (1, 0, 1)\}[/mm] und [mm]Y:=\{(1, -1, 0), (0, 1, -1)\}[/mm]. Zeigen Sie:
a) [mm]=[/mm]
b) [mm]=\{(a, b, c) \in \IR^{3}| a+b+c=0\}[/mm] |
| Aufgabe 2 | | Sei [mm]M[/mm] eine Teilmenge des K-Vektorraumes [mm]V[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]M[/mm] genau dann linear abhängig ist, wenn es eine echte Teilmenge[mm]N[/mm] von [mm]M[/mm] gibt, so dass [mm]=[/mm] ist. |
Hallo Freunde der Mathematik 
Irgendwie habe ich im Forum nichts zu dem Thema Erzeugendensystem gefunden, was ich mir eigentlich nicht vorstellen kann. Wenn jemand einen Link für mich hat, würde ich mich darüber auch sehr freuen. Danke
Definition: [mm][/mm] Erzeugnis von [mm]X[/mm].
[mm]:=\{v \in V | \exists n \in \IN \forall i \in \{1,\ldots,n\} \exists v_{i} \in X, \lambda_{i} \in K : v=\summe_{j=1}^{n}\lambda_{j} \cdot v_{j}\}[/mm].
Ich habe herausgefunden, dass die Menge [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] jeweils linear unabhängig sind. Es gilt auch: [mm]Y \subset X[/mm].
AUFGABE 1
zu a) Ich muss ja nun zeigen, dass [mm][/mm] die gleichen Vektoren [mm] v \in V [/mm] erzeugt, wie [mm][/mm].
d.h. [mm] \exists v \in V[/mm] so dass gilt: [mm] v=\summe_{i=1}^{3} \lambda_{i} \cdot x_{i} [/mm] mit [mm] x_{i} \in X[/mm] und [mm] \lambda_{i} \in K[/mm] so muss auch [mm] v=\summe_{k=1}^{2} \mu_{k} \cdot y_{k} [/mm] mit [mm] y_{k} \in Y [/mm] und [mm] \mu_{k} \in K[/mm] sein.
Und was kommt jetzt? Kann ich diese Gleichungen nun voneinander abziehen bzw. gleichsetzen? Oder ist der ganze Ansatz "Kappes".
zu b) Hier habe ich noch nicht einmal eine Idee, wie man anfangen soll .... Wenn ich jetzt zu jedem Vektor in [mm]Y[/mm] jeweils die Summe der Koordinaten berechne, kommt jeweils 0 heraus [mm]1+(-1)+0=0, 0+1+(-1)=0[/mm] ... aber wie hilft mir das jetzt weiter?
Kann mir jemand den Anfang erklären?
AUFGABE 2
Die Aussage, die zu Beweise ist, lautet doch: [mm] M [/mm] linear abhängig [mm] \gdw [/mm] [mm] N \subset M und = [/mm].
D.h. man muss zwei Richtungen zeigen
"[mm] \Rightarrow [/mm]": [mm] M [/mm] linear abhängig [mm] \Rightarrow \exists N \subset M : = [/mm]
und "[mm] \Leftarrow" [/mm]": Sei [mm] N \subset M : = [/mm] [mm] \Rightarrow" [/mm] [mm] M [/mm] linear abhängig.
Echte Teilmenge, bedeutet ja, dass es mindestens ein Element in [mm] M [/mm] gibt, welches nicht in [mm] N [/mm] ist.
Auch hier fehlt mir eine Idee, wie ich überhaupt anfangen soll. Kann mir jemand mit einer Idee helfen?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Mi 05.06.2019 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]V=\IR^{3}[/mm], [mm]X:=\{1, -1, 0), (0, 1, -1), (1, 0, 1)\}[/mm]
> und [mm]Y:=\{(1, -1, 0), (0, 1, -1)\}[/mm]. Zeigen Sie:
> a) [mm]=[/mm]
Entweder hat sich der Aufgabensteller vertan oder Du hast etwas falsch abgeschrieben. Die drei Vektoren in X sind l.u , bilden also eine Basis des [mm] \IR^3, [/mm] damit ist $<X>= [mm] \IR^3$. [/mm] Folglich ist <Y> ein echter Unteraum von <X>.
> b) [mm]=\{(a, b, c) \in \IR^{3}| a+b+c=0\}[/mm]
> Sei [mm]M[/mm] eine
> Teilmenge des K-Vektorraumes [mm]V[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]M[/mm] genau
> dann linear abhängig ist, wenn es eine echte Teilmenge[mm]N[/mm]
> von [mm]M[/mm] gibt, so dass [mm]=[/mm] ist.
> Hallo Freunde der Mathematik
>
> Irgendwie habe ich im Forum nichts zu dem Thema
> Erzeugendensystem gefunden, was ich mir eigentlich nicht
> vorstellen kann. Wenn jemand einen Link für mich hat,
> würde ich mich darüber auch sehr freuen. Danke
>
> Definition: [mm][/mm] Erzeugnis von [mm]X[/mm].
> [mm]:=\{v \in V | \exists n \in \IN \forall i \in \{1,\ldots,n\} \exists v_{i} \in X, \lambda_{i} \in K : v=\summe_{j=1}^{n}\lambda_{j} \cdot v_{j}\}[/mm].
>
> Ich habe herausgefunden, dass die Menge [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] jeweils
> linear unabhängig sind.
Das stimmt.
> Es gilt auch: [mm]Y \subset X[/mm].
>
> AUFGABE 1
> zu a) Ich muss ja nun zeigen, dass [mm][/mm] die gleichen
> Vektoren [mm]v \in V[/mm] erzeugt, wie [mm][/mm].
Dass das nicht der Fall ist, habe ich Dir schon oben gesagt.
> d.h. [mm]\exists v \in V[/mm] so dass gilt: [mm]v=\summe_{i=1}^{3} \lambda_{i} \cdot x_{i}[/mm]
> mit [mm]x_{i} \in X[/mm] und [mm]\lambda_{i} \in K[/mm] so muss auch
> [mm]v=\summe_{k=1}^{2} \mu_{k} \cdot y_{k}[/mm] mit [mm]y_{k} \in Y[/mm] und
> [mm]\mu_{k} \in K[/mm] sein.
> Und was kommt jetzt? Kann ich diese Gleichungen nun
> voneinander abziehen bzw. gleichsetzen? Oder ist der ganze
> Ansatz "Kappes".
>
> zu b) Hier habe ich noch nicht einmal eine Idee, wie man
> anfangen soll .... Wenn ich jetzt zu jedem Vektor in [mm]Y[/mm]
> jeweils die Summe der Koordinaten berechne, kommt jeweils 0
> heraus [mm]1+(-1)+0=0, 0+1+(-1)=0[/mm] ... aber wie hilft mir das
> jetzt weiter?
> Kann mir jemand den Anfang erklären?
Wir setzen [mm] E:=\{(a,b,c): a+b+c=0\}. [/mm] Warum wohl habe ich diese Menge mit E bezeichnet.
Nun sieht man sofort, das die Vektoren aus Y zu E gehören. Somit: Y [mm] \subseteq [/mm] E und damit
$<Y> [mm] \subseteq [/mm] <E> =E$.
Das letzte "= gilt, weil E ein Untervektorraum des [mm] \IR^3 [/mm] ist.
Zur Inklusion [mm] \supset: [/mm] nimm ein y [mm] \in [/mm] E und bestimme [mm] \alpha, \beta \in [/mm] IR so, dass [mm] y=\alpha(1,-1,0)+ \beta(0,1,-1) [/mm] ist.
>
> AUFGABE 2
> Die Aussage, die zu Beweise ist, lautet doch: [mm]M[/mm] linear
> abhängig [mm]\gdw[/mm] [mm]N \subset M und = [/mm].
>
> D.h. man muss zwei Richtungen zeigen
> "[mm] \Rightarrow [/mm]": [mm]M[/mm] linear abhängig [mm]\Rightarrow \exists N \subset M : =[/mm]
>
> und "[mm] \Leftarrow" [/mm]": Sei [mm]N \subset M : =[/mm] [mm]\Rightarrow"[/mm]
> [mm]M[/mm] linear abhängig.
>
> Echte Teilmenge, bedeutet ja, dass es mindestens ein
> Element in [mm]M[/mm] gibt, welches nicht in [mm]N[/mm] ist.
>
> Auch hier fehlt mir eine Idee, wie ich überhaupt anfangen
> soll. Kann mir jemand mit einer Idee helfen?
Zu [mm] \Rightarrow [/mm]: ist M l.a. , so ex. [mm] x_1,...,x_n \in [/mm] M derart, dass [mm] x_1,...,x_n [/mm] l.a. sind. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir
[mm] x_1 \in <\{x_2,...,x_n\}>
[/mm]
annehmen. Nun schau Dir N:= M [mm] \setminus \{x_1\} [/mm] an.
zu $ [mm] \Leftarrow [/mm] $: es ex. [mm] x_0 \in [/mm] M mit [mm] x_0 \notin [/mm] N, aber [mm] x_0 \in [/mm] <N>.
Also ex. [mm] \alpha_1,...., \alpha_n \in [/mm] K und [mm] x_1,....,x_n \in [/mm] N derart, dass
(*) [mm] x_0= \alpha_1x_1 [/mm] + [mm] ....+\alpha_n x_n.
[/mm]
Alle Vektoren in (*) gehören auch zu M ! Warum sind nun [mm] x_0,x_1,...,x_n [/mm] l.a. ?
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> Danke!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mi 05.06.2019 | | Autor: | Olli1968 |
| Aufgabe | | Zu Aufgabe 1 a)- Die Menge [mm] X=\{(1,-1,0),(0,1,-1),(1,0,[/mm]-1[mm])\}[/mm] |
Hallo FRED … Danke für deine schnelle Antwort.
Irgendwie habe ich das Minus nicht wahrgenommen … aber so stimmt es nun.
Somit sind die Vektoren in [mm]X[/mm] linear abhängig. Mir ist jetzt klar, dass [mm]=[/mm] gilt, da sie die gleiche Ebene aufspannen, aber wie zeigt man dass jetzt?
Wäre denn dann die Idee das es Vektoren [mm] v \in V[/mm] gibt, die sowohl als Linearkombination der Vektoren aus X und Y geschrieben werden können, hilfreich?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Mi 05.06.2019 | | Autor: | fred97 |
> Zu Aufgabe 1 a)- Die Menge
> [mm]X=\{(1,-1,0),(0,1,-1),(1,0,[/mm]-1[mm])\}[/mm]
> Hallo FRED … Danke für deine schnelle Antwort.
> Irgendwie habe ich das Minus nicht wahrgenommen … aber so
> stimmt es nun.
>
> Somit sind die Vektoren in [mm]X[/mm] linear abhängig. Mir ist
> jetzt klar, dass [mm]=[/mm] gilt, da sie die gleiche Ebene
> aufspannen, aber wie zeigt man dass jetzt?
> Wäre denn dann die Idee das es Vektoren [mm]v \in V[/mm] gibt, die
> sowohl als Linearkombination der Vektoren aus X und Y
> geschrieben werden können, hilfreich?
>
>
Es ist Y [mm] \subseteq [/mm] X und damit <Y> [mm] \subseteq [/mm] <X>.
Die ersten beiden Vektoren in X gehören auch zu Y und damit auch zu <Y>. Der dritte Vektor in X ist gerade die Summe der ersten beiden, also gehört dieser dritte Vektor ebenfalls zu <Y>.
Damit ist X [mm] \subseteq [/mm] <Y> und somit folgt <X> [mm] \subseteq [/mm] <Y> .
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Mi 05.06.2019 | | Autor: | Olli1968 |
| Aufgabe | Seien [mm]V=\IR^{3}, X:=\{(1,-1,0),(0,1,-1),(1,0,-1)\}, Y:=\{(1,-1,0),(0,1,-1)\}[/mm]
a) Zeigen Sie [mm]=[/mm] |
Hallo Fred,
danke, dass Du mich hier so unterstützt.
Leider habe ich den Satz " [mm]Y \subseteq X \Rightarrow \subseteq [/mm]" im Script nicht gefunden, so dass ich mir nicht sicher bin, ob ich ihn ohne Beweis benutzen dürfte.
Allerdings hatten wir [mm]Y \subseteq X \Rightarrow \le [/mm]
gezeigt, also dass dann <Y> Unterraum von <X> ist. Damit <Y> Unterraum von <X> sein kann, war als Vorraussetzung gefordert, dass Y eine nichtleere Teilmenge von X ist. Kann ich mich darauf berufen um den Satz zu verwenden? Oder wie würde man dieses Satz dann Beweisen?
i) Zu zeigen "[mm] \subseteq [/mm]
Da [mm]Y \subset X \Rightarrow \subset [/mm]
ii) zu zeigen "[mm] \subseteq [/mm]"
Wie man sieht, sind die Vektoren [mm] (1,-1,0), (0,1,-1) \in X [/mm] auch in Y. Also gilt [mm](1,-1,0),(0,1,-1) \in Y[/mm]. Da [mm] (1,0,-1) \in X[/mm] durch die Linearkombination [mm]1 \cdot (1,-1,0)+1 \cdot (0,1,-1)=(1+0,1+(-1),0+(-1))=(1,0,-1)[/mm] dargestellt werden kann, ist [mm] (1,0,-1) \in Y[/mm] Somit [mm]X \subseteq \Rightarrow \subseteq [/mm]
Aus i) und ii) folgt dann [mm] = [/mm]
Wäre das so o.k.?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Mi 05.06.2019 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]V=\IR^{3}, X:=\{(1,-1,0),(0,1,-1),(1,0,-1)\}, Y:=\{(1,-1,0),(0,1,-1)\}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie [mm]=[/mm]
> Hallo Fred,
>
> danke, dass Du mich hier so unterstützt.
>
> Leider habe ich den Satz " [mm]Y \subseteq X \Rightarrow \subseteq [/mm]"
> im Script nicht gefunden, so dass ich mir nicht sicher bin,
> ob ich ihn ohne Beweis benutzen dürfte.
>
> Allerdings hatten wir [mm]Y \subseteq X \Rightarrow \le [/mm]
Na, dann folgt doch <Y> [mm] \subseteq [/mm] <X>
Ich verstehe Dein Problem nicht
>
> gezeigt, also dass dann <Y> Unterraum von <X> ist. Damit
> <Y> Unterraum von <X> sein kann, war als Vorraussetzung
> gefordert, dass Y eine nichtleere Teilmenge von X ist. Kann
> ich mich darauf berufen um den Satz zu verwenden? Oder wie
> würde man dieses Satz dann Beweisen?
>
> i) Zu zeigen "[mm] \subseteq [/mm]
> Da [mm]Y \subset X \Rightarrow \subset [/mm]
>
> ii) zu zeigen "[mm] \subseteq [/mm]"
> Wie man sieht, sind die
> Vektoren [mm](1,-1,0), (0,1,-1) \in X[/mm] auch in Y. Also gilt
> [mm](1,-1,0),(0,1,-1) \in Y[/mm]. Da [mm](1,0,-1) \in X[/mm] durch die
> Linearkombination [mm]1 \cdot (1,-1,0)+1 \cdot (0,1,-1)=(1+0,1+(-1),0+(-1))=(1,0,-1)[/mm]
> dargestellt werden kann, ist [mm](1,0,-1) \in Y[/mm] Somit [mm]X \subseteq \Rightarrow \subseteq [/mm]
>
> Aus i) und ii) folgt dann [mm]=[/mm]
>
> Wäre das so o.k.?
Ja, das ist doch genau mein Beweis.
>
> Danke
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Do 06.06.2019 | | Autor: | Olli1968 |
Hallo Fred,
nochmals Danke für deine schnelle Antwort.
Auf deine Bemerkung
> Ich verstehe Dein Problem nicht
möchte ich kurz Eingehen.
Mein Problem liegt wohl darin, dass ich manchmal wie "überfordert" bin und ich dann nicht weiß, ob man das nun beweisen muss, oder einfach als gegeben annehmen kann. In der Vorlesung haben wir bewiesen, dass "[mm]Y \subseteq X \Rightarrow \le [/mm]" gilt, und im Buch steht, dass der Leser selbst beweisen soll, dass "[mm]Y \subseteq X \Rightarrow \subseteq [/mm]" gilt.
Ich denke, mir fehlt einfach die Erfahrung mit diesen Dingen und somit ein mathematisches Selbstvertrauen.
Noch eine Anmerkung zu
> Ja, das ist doch genau mein Beweis.
Ich wollte deinen Beweis, der Vollständigkeit wegen aber auch aus Übungszwecken, noch einmal ausschreiben, wie ich ihn z. B. in einer Prüfung und in den Übungen formulieren würde.
Gruß und Dank
Olli
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:17 Do 06.06.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> nochmals Danke für deine schnelle Antwort.
> Auf deine Bemerkung
> > Ich verstehe Dein Problem nicht
> möchte ich kurz Eingehen.
>
> Mein Problem liegt wohl darin, dass ich manchmal wie
> "überfordert" bin und ich dann nicht weiß, ob man das nun
> beweisen muss, oder einfach als gegeben annehmen kann. In
> der Vorlesung haben wir bewiesen, dass "[mm]Y \subseteq X \Rightarrow \le [/mm]"
> gilt, und im Buch steht, dass der Leser selbst beweisen
> soll, dass "[mm]Y \subseteq X \Rightarrow \subseteq [/mm]"
> gilt.
Echt ? Was ist denn das für ein komisches Buch ?
$<Y> [mm] \le [/mm] <X>$ bedeutet doch, dass $<Y>$ ein Untervektorraum von $<X>$ ist. Somit ist $<Y>$ auch eine Teilmenge von $<X>$.
Oder versteht Dein Buch unter $<Y> [mm] \le [/mm] <X>$ etwas anderes ?
> Ich denke, mir fehlt einfach die Erfahrung mit diesen
> Dingen und somit ein mathematisches Selbstvertrauen.
>
> Noch eine Anmerkung zu
> > Ja, das ist doch genau mein Beweis.
> Ich wollte deinen Beweis, der Vollständigkeit wegen aber
> auch aus Übungszwecken, noch einmal ausschreiben, wie ich
> ihn z. B. in einer Prüfung und in den Übungen formulieren
> würde.
>
> Gruß und Dank
> Olli
>
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Do 06.06.2019 | | Autor: | Olli1968 |
Hallo Fred …
> Echt ? Was ist denn das für ein komisches Buch ?
Das Buch, welches der Dozent zur Vorlesung, neben anderen, vorgeschlagen hat, heißt >Gernot Stroth "Lineare Algebra"< und dort geht der Autor halt etwas anders vor, als wir in der Vorlesung. Und das verwirrt einen.
Gruß und Dank
Oliver
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Fr 07.06.2019 | | Autor: | Olli1968 |
> Seien [mm]V=\IR^{3}, X:=\{(1,-1,0),(0,1,-1),(1,0,-1)\}, Y:=\{(1,-1,0),(0,1,-1)\}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie [mm]=[/mm]
Sei [mm] v_1=(1,-1,0), v_2=(0,1,-1),v_3=(1,0,-1) \in \IR^{3}, a,b,c, m, n \in \IR[/mm]
[mm] =\{v \in \IR^{3}|v=a \cdot v_1+b \cdot v_2+c \cdot v_3 \}
=\{v \in \IR^{3}|v=a \cdot v_1+b \cdot v_2 + c \cdot (v_1+v_2)\}
=\{v \in \IR^{3}|v=(a+c) \cdot v_1+(b+c) \cdot v_2\}[/mm]
mit [mm]m=a+c, n=b+c \in \IR [/mm] folgt
[mm]=\{v \in \IR^{3}|v=m \cdot v_1+n \cdot v_2\}=[/mm]
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> Zu Aufgabe 1 a)- Die Menge
> [mm]X=\{(1,-1,0),(0,1,-1),(1,0,-1)\}[/mm]
Mit ein wenig Übung erkennst du sofort:
[mm] v_1+v_2=v_3
[/mm]
Das bedeutet: Überall, wo in einer Linearkombination [mm] v_3 [/mm] vorkommt, kannst du dies durch [mm] (v_1+v_2) [/mm] ersetzen. Somit kannst du [mm] v_3 [/mm] aus X entfernen, und du erhältst sofort Y.
Somit stimmen <X> und <Y> überein.
In Fällen, in denen das nicht so offensichtlich ist, gehst du so vor:
Du zeigst, dass die in X enthaltenen Vektoren alle durch Y erzeugt werden können und umgekehrt. Dann bist du fertig.
Können z.B. alle Elemente aus X durch Y erzeugt werden, umgekehrt aber nicht, so ist [mm] \subset [/mm] <Y>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Mi 05.06.2019 | | Autor: | Olli1968 |
| Aufgabe | Seien [mm]V=\IR^{3][/mm] und [mm]Y:=\{(1,-1,0),(0,1,-1)\}[/mm]
b) [mm]=E:=\{(a,b,c) \in \IR^{3} | a+b+c=0\}[/mm] |
Hallo Fred …
hier nun mein Lösungsversuch zur Aufgabe 1 b)
i) Zu Zeigen "[mm] \subset E[/mm]"
[mm] \forall v \in gilt: v= \alpha \cdot (1,-1,0) + \beta \cdot (0,1,-1) = ( \alpha , - \alpha + \beta, - \beta) [/mm] mit [mm] \alpha, \beta \in \IR [/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha + (- \alpha + \beta) + (- \beta) = ( \alpha + (- \alpha)) + (\beta + (- \beta)) = 0 + 0 = 0 [/mm]
[mm] \Rightarrow v \in E [/mm]
[mm] \Rightarrow \subset E [/mm]
ii) Zu zeigen "[mm] E \subset [/mm]"
d.h. [mm] \forall v' \in E : \exist \alpha, \beta \in \IR [/mm] so dass [mm] v' = \alpha \cdot (1,-1,0) + \beta \cdot (0,1,-1) = ( \alpha, - \alpha + \beta , - \beta) [/mm]
Zu zeigen: [mm] v'=(a,b,c)=( \alpha, - \alpha + \beta , - \beta) [/mm]
Wie man sieht gilt: [mm] \alpha = a , \beta = -c [/mm] und [mm] b= - \alpha + \beta = (- a) + (- c) \gdw a+b+c=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow E \subset [/mm]
und aus i) und ii) folgt [mm] =E:=\{(a,b,c) \in \IR | a+b+c=0 \}[/mm]
Ich hoffe das der Aufgabenteil nun stimmt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Mi 05.06.2019 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]V=\IR^{3][/mm] und [mm]Y:=\{(1,-1,0),(0,1,-1)\}[/mm]
> b) [mm]=E:=\{(a,b,c) \in \IR^{3} | a+b+c=0\}[/mm]
> Hallo Fred
> …
> hier nun mein Lösungsversuch zur Aufgabe 1 b)
>
> i) Zu Zeigen "[mm] \subset E[/mm]"
>
> [mm]\forall v \in gilt: v= \alpha \cdot (1,-1,0) + \beta \cdot (0,1,-1) = ( \alpha , - \alpha + \beta, - \beta)[/mm]
> mit [mm]\alpha, \beta \in \IR[/mm]
> [mm]\Rightarrow \alpha + (- \alpha + \beta) + (- \beta) = ( \alpha + (- \alpha)) + (\beta + (- \beta)) = 0 + 0 = 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow v \in E[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \subset E[/mm]
>
> ii) Zu zeigen "[mm] E \subset [/mm]"
> d.h. [mm]\forall v' \in E : \exist \alpha, \beta \in \IR[/mm]
> so dass [mm]v' = \alpha \cdot (1,-1,0) + \beta \cdot (0,1,-1) = ( \alpha, - \alpha + \beta , - \beta)[/mm]
> Zu zeigen: [mm]v'=(a,b,c)=( \alpha, - \alpha + \beta , - \beta)[/mm]
>
> Wie man sieht gilt: [mm]\alpha = a , \beta = -c[/mm] und [mm]b= - \alpha + \beta = (- a) + (- c) \gdw a+b+c=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow E \subset [/mm]
>
> und aus i) und ii) folgt [mm]=E:=\{(a,b,c) \in \IR | a+b+c=0 \}[/mm]
>
> Ich hoffe das der Aufgabenteil nun stimmt.
Ja, alles o.k.
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| Aufgabe | | Sei M eine Teilmenge des K-Vektorraums V. Zeigen Sie, dass M genau dann linear abhängig ist, wenn es eine echte Teilmenge N von M gibt, so dass <M>=<N> ist. |
Hallo Fred,
fehlt noch Aufgabe 2. Du sagtest:
> Zu [mm]\Rightarrow [/mm]: ist M l.a. , so ex. [mm]x_1,...,x_n \in[/mm] M
> derart, dass [mm]x_1,...,x_n[/mm] l.a. sind.
> Ohne Beschränkung der
> Allgemeinheit können wir
> [mm]x_1 \in <\{x_2,...,x_n\}>[/mm]
>
> annehmen. Nun schau Dir N:= M [mm]\setminus \{x_{1} \}[/mm] an.
Es gilt doch: (M = <M>) - EDIT: Das gilt doch nur, wenn X Teilraum von V ist, oder? Also streichen wir das. .
Sei [mm]N:=M \setminus \{x_{1}\} [/mm] dann gilt N ist echte Teilmenge von M.
Somit gilt <N>=M und da [mm]x_1 \in M[/mm] als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden kann folgt <N>=<M>.
>
> zu [mm]\Leftarrow [/mm]: es ex. [mm]x_0 \in[/mm] M mit [mm]x_0 \notin[/mm] N, aber
> [mm]x_0 \in[/mm] <N>.
>
> Also ex. [mm]\alpha_1,...., \alpha_n \in[/mm] K und [mm]x_1,....,x_n \in[/mm]
> N derart, dass
>
> (*) [mm]x_0= \alpha_1x_1[/mm] + [mm]....+\alpha_n x_n.[/mm]
>
> Alle Vektoren in (*) gehören auch zu M ! Warum sind nun
> [mm]x_0,x_1,...,x_n[/mm] l.a. ?
"<=" Wir starten mit <M>=<N> und [mm]N \subset M[/mm], So gibt es ein [mm]x' \in M : x' \not\in N [/mm] aber [mm] x' \in [/mm]
Also gibt es [mm] \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K[/mm] und [mm] x_1, \ldots, x_n \in N[/mm] derart, dass [mm]x'=\summe_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot x_i[/mm]. Da [mm]N \subset M \Rightarrow x_1, \ldots, x_n \in M[/mm] und [mm]x' \in M [/mm] folgt, dass [mm]M[/mm] linear abhängig ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Sa 08.06.2019 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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