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| Aufgabe | [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
Das ist eine Menge, die gegeben ist
a)Untersuchen Sie, ob M linear unabhängigi ist. Wählen Sie im Fall linearer Abhängigkeit eine max. Teilmenge linear unabhängiger Vektoren von aus.
b)Untersuchen Sie, ob M ein Erzeugendensystem des R3 ist. Wenn nicht, ergänzen sie es zu einem Erzeugendensystem
c)Untersuchen Sie, ob M eine Basis des R3 oder eines Untervektorraumes des R3 ist. |
Ich möchte hier nicht den gesamten Lösungsweg wissen, das würde sicherlich den Rahmen sprengen.
zu a) Habe ein homogenes Gleichungssystem aufgestellt und komme zu:
x1 +2x3=0
x2-3x3=0
Lt. Script ist die Lösung x3 [mm] \vektor{-2 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
Frage: warum ist hier x3 die Lösung und wie kommen die werte -2,3,1 zustande???
Weiter in Script: es gilt z.B. für x3=1
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3} [/mm] = 2* [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] - 3* [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Frage: Warum kann hier der 3.Vektor gestrichen werden?
zu b) lin M=2 < dim [mm] R^3 [/mm] =3
Wieso ist die lineare Hülle=2 und [mm] R^3 [/mm] =3?
Weshalb ist es dann kein Erzeugendensystem des R3?
zu c) M ist keine Basis, weder von R3 noch von einem UNterraum da M linear abhängig ist. Verstehe ich nicht!
Danke schon mal für die Aufklärung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Di 16.01.2007 | | Autor: | thoma2 |
< Frage: Warum kann hier der 3.Vektor gestrichen werden?
da man ihn aus den beiden anderen erzeugen kann.
also, wen du auf die drei vek. den gaussalg. anwändest, erhältst du eine nullzeile.
daraus folgt: dimM=2
also, es bleiben 2 linearunabhängige vek.
um [mm] \IR^{3} [/mm] zu erzeugen, braucht man 3 linear unabhängige vek.
also noch einen dritten vek. der von den beiden aus dem gauss übriggeblibenden linearunabhängig ist.
zur c) die def. nochmal durchlessen
ich hoffe mal, das es einigermassen verständlich ist.
wen du auf den drei vek. den gauss algo. anwändest, sollte aber einiges klar werden
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Aloha hé,
Tja, die gute alte Lineare Algebra :)
Hier mal meine Überlegungen:
a) Versteh ich deinen Ansatz nicht. Ich würde immer rechnen: Vektor 1 = Vektor 2 * a + Vektor 3 * b. Wenn sich solche a,b finden lassen, ist Vektor 1 aus den beiden anderen linear kombinierbar und demnach nicht linear unabhängig! (Was genau ist das [mm] x_{3} [/mm] ? ).
b) Das ist ausnahmsweise mal einfach, zumindest, wenn man die ganzen Definitionen mal internalisiert hat (keine Sorge, das kommt noch!) :) Die 'lineare Hülle' ist das, was höchstens rauskommen kann, wenn man alle Elemente von M miteinander verknüpft. Das bedeutet hier: Auch wenn es drei Elemente sind, kommt nur etwas zwei-dimensionales raus. Das bedeutet aber auch, dass die Vektoren deiner Menge M offenbar nicht linear unabhängig sind (einer muss sich linear kombinieren lassen!). Das wiederum bedeutet, dass es kein Erzeugendensystem des [mm] \IR [/mm] ^{3} sein kann, da dieser ja die Dimension 3 hat.
c) Wie habt ihr Unterraum denn definiert? M ist, wie in b) gezeigt sicherlich kein Erzeugendensystem der [mm] \IR [/mm] ^{3}. Wenn man jetzt sagt, man betrachtet mal einen Art Würfel als gesamten Raum und teilt ihn in zwei Hälften, dann sind beide Hälften immernoch dreidimensional, nur kleiner eben (also: Unterräume). Wenn ihr 'Unterraum' auf diese Weise definiert habt, macht es prinzipiell Sinn, auf das Ergebnis zu kommen, was du vorgestellt hast.
Hoffe, dass dich das weiter bringt.
Namárie,
sagt ein Lary, wo sich nun Frühstück holt :)
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