Erzeugendensystem < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich versuche mich gerade auf eine Klausur in LA vorzubereiten, habe aber noch immer schwierigkeiten, zu bestimmen, ob eine Familie von Vektoren ein Erzeugendensystem ist, oedr gar eine Basis, oder auch wie man aus gegebenen Vektoren eine Basis zusammenschustert...
Kann mir das irgendjemand idiotensicher erklären? Ich steh da echt auf dem schlauch....
Danke und euch allen ein schönes Wochenende,
Sabine
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 So 30.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Biene!
Sei eine Menge [mm] $B:=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ [/mm] von Vektoren eines Vektorraumes $V$ gegeben. Man nennt die Menge $B$ genau dann ein Erzeugendensystem, wenn sich jedes [mm] $v\in [/mm] V$ als Linearkombination der Vektoren aus $B$, also der [mm] $v_1,v_2,...,v_n$, [/mm] darstellen lässt. Das heißt also, dass es Koeffizienten [mm] $k_1,k_2,...,k_n\in \IK$ [/mm] (dabei ist $K$ der Körper, dem $V$ zu Grunde liegt) mit [mm] $v=\summe_{i=1}^{n}{k_i\cdot v_i}$ [/mm] gibt. Diese Eigenschaft musst du nachweisen oder widerlegen. Letzteres geht einfach: du musst einfach einen Vektor aus $V$ finden, der sich (bewiesenermaßen, klar) nicht als Linearkombination der Vektoren aus $B$ darstellen lässt. Umgekehrt führt die allgemeine Frage, ob ein Vektor als eine Linearkombination von Vektoren aus $B$ darstellbar ist, zu einem linearen Gleichungssystem. Für einen allgemein gewählten Vektor kannst du so durch das Lösen dieses Gleichungssystemes beweisen, dass eine gegebene Menge ein Erzeugendensystem ist. Hilft dir das ein wenig?
Was du allerdings nicht vergessen darfst, ist folgendes: wenn du die Dimension $n$ eines Vektorraumes kennst, und eine Menge mit $n$ Vektoren vorgegeben hast, dann ist diese Menge genau dann ein Erzeugendensystem (und auch eine Basis), wenn sie linear unabhängig ist. Denn: eine Menge ist genau dann eine Basis, wenn sie eine maximale linear unabhängige Menge darstellt. Da zudem jede Basis gleich viele Elemente beinhaltet, kannst du bei einer Menge mit weniger als $n$ Elementen sicher sein, dass sie kein Erzeugendensystem ist; denn wäre sie ein Erzeugendensystem, widerspräche dies der Definition einer Basis als minimales Erzeugendensystem.
Wenn du ein Erzeugendensystem gegeben hast und aus ihm eine Basis erhalten möchtest, musst du so lange Vektoren entfernen, bis die Menge linear unabhängig ist. Du musst also nacheinander Vektoren auswählen, die sich als Linearkombination der übrigen Vektoren deiner Menge darstellen lassen, und diese entfernen. Deine Menge bleibt dann weiterhin ein Erzeugendensyste (überlege dir, warum!). Dies wiederholst du so lange, bis sich kein solcher Vektor mehr finden lässt bzw. bis die Menge genau $n$ Elemente beinhaltet, wobei $n$ abermals die Dimension des Vektorraumes ist, auf dem du arbeitest (wenn du $n$ nicht gegeben hast, dann kannst du diese Möglichkeit natürlich nicht in Betracht ziehen).
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
Hallo Hanno,
vielen Dank erstmal, daß Du so schnell antworten konntest.
Ich faß nochmal kurz zusammen, wie ich Deine Antwort verstanden habe, damit ich endlich für mich Klarheit schaffen kann:
1)Jede linear unabhängige Familie mit n Vektoren im [mm] \IR^{n} [/mm] ist ein Erzeugendensystem und eine Basis.
2) Wenn die Dimension eines Raumes = n ist und es n linear unabhängige Vektoren gibt, dann müssen sich alle weiteren vektoren als Linearkombinatin der unabhängigen Vektoren darstellen lassen
3) Wenn die Dimension n ist, aber weniger als n Vektoren da sind, ist es weder ein Erzeugendensystem noch eine Basis
Ist das jetzt alles richtig? Hab ich was vergessen?
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 So 30.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Biene!
Ja, das ist richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
