Erzeuger Borel-Algebra und ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:43 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Lysin |
| Aufgabe | (a.) Bezeichne [mm] O_m [/mm] das System der offenen Mengen aus [mm] \IR^m. [/mm] Zeigen Sie, dass gilt [mm] B^m [/mm] = [mm] \sigma (O_m) [/mm] d.h. die offenen Mengen bilden einen Erzeuger der Borel- [mm] \sigma [/mm] - Algebra.
(b.) Sind [mm] X_n, [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] Zufallsvariablen auf einem messbaren Raum [mm] (\Omega, [/mm] F) so auch inf [mm] _n_\in_\IN X_n, sup_n_\in_\IN X_n, [/mm] lim [mm] inf_n_\to_\infty X_n [/mm] und lim [mm] sup_n_\to_\infty X_n [/mm] und [mm] lim_n_\to_\infty X_n. [/mm] (sofern letztere existieren und reellwertig sind) |
Hallo zusammen,
also bin gerade an dieser Aufgabe dran und weiß einfach nicht weiter :-(
Also zu (a.):
zunächst ist ein Erzeuger folgendes:
S ist ein System von Mengen. Die kleinste [mm] \sigma-Algebra, [/mm] die S enthält, mit [mm] \sigma(S) [/mm] bezeichnet und von S erzeugte [mm] \sigma [/mm] - Algebra genannt. Man kann zeigen, dass sie die Darstellung
[mm] \sigma(S) [/mm] = [mm] \bigcap_{A \sigma -Algebra, S\subset A} [/mm] A
besitzt.
Bezugnehmend auf die Aufgabe heißt das zunächst:
[mm] O_m [/mm] ist ein System von Mengen (nämlich der offenen aus [mm] \IR^m). [/mm] Und die kleinste [mm] \sigma-Agebra, [/mm] die [mm] O_m [/mm] enthält ist [mm] \sigma(O_m) [/mm] und ist die von [mm] O_m [/mm] erzeugte [mm] \sigma-Algebra. [/mm]
Also ist dann
[mm] \sigma(O_m)= \bigcap_{B^m \sigma -Algebra, O_m\subset B^m} B^m
[/mm]
Hab ich das so richtig gefolgert und bringt mir das was? An dieser Stelle komme ich leider nicht weiter.
Bei der (b.) bin ich ratlos. Die Aussage scheint mit plausibel, aber ich finde keinen Ansatz. Wir haben auch in der Vorlesung noch nichts mit Grenzwerten etc. von Zufallsvariablen gemacht, sodass ich mir auch nicht vorstellen kann, was da kommen mag.![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar 
Liebe Grüße
Lysin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Mi 17.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu a)
Ich kann Dir dabei nur helfen, wenn Du verrätst, wie bei Euch $ [mm] B^m [/mm] $ def. wurde.
$ [mm] B^m [/mm] $ hat viele Erzeuger, der eine nimmt diesen zur Def. von $ [mm] B^m [/mm] $ , eine anderer jenen ...
Zu b)
Für a [mm] \in \IR [/mm] ist
[mm] $\{ x \in \Omega: (sup_n_\in_\IN X_n)(x) \le a \} [/mm] = [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty} \{x \in \Omega: X_n(x) \le a \}$
[/mm]
Hilft das ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Lysin |
> Zu a)
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> Ich kann Dir dabei nur helfen, wenn Du verrätst, wie bei
> Euch [mm]B^m[/mm] def. wurde.
>
> [mm]B^m[/mm] hat viele Erzeuger, der eine nimmt diesen zur Def. von
> [mm]B^m[/mm] , eine anderer jenen ...
>
Hallo Fred,
Also unsere Definition war folgende:
Die [mm] Borel-(\sigma-)Algebra B^m [/mm] ist die kleinste [mm] \sigma-Algebra, [/mm] die alle Quader [mm] (a_1,b_1)x...x(a_m,b_m) [/mm] enthält. (Runde Klammern stehen für eckige und runde Klammern)
Man muss doch in diesem Beweis beweisen, dass eine offene Menge aus [mm] \IR^m [/mm] auch als diese Quader darstellbar ist oder? Aber ich weiß einfach nicht wie so etwas aussehen soll?
> Zu b)
>
> Für a [mm]\in \IR[/mm] ist
>
> [mm]\{ x \in \Omega: (sup_n_\in_\IN X_n)(x) \le a \} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \{x \in \Omega: X_n(x) \le a \}[/mm]
>
> Hilft das ?
Der Funke springt noch nicht rüber :-/
Danke für die Hilfe!
Lieben Gruß
Lysin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Zu a)
> >
> > Ich kann Dir dabei nur helfen, wenn Du verrätst, wie bei
> > Euch [mm]B^m[/mm] def. wurde.
> >
> > [mm]B^m[/mm] hat viele Erzeuger, der eine nimmt diesen zur Def. von
> > [mm]B^m[/mm] , eine anderer jenen ...
> >
> Hallo Fred,
> Also unsere Definition war folgende:
> Die [mm]Borel-(\sigma-)Algebra B^m[/mm] ist die kleinste
> [mm]\sigma-Algebra,[/mm] die alle Quader [mm](a_1,b_1)x...x(a_m,b_m)[/mm]
> enthält. (Runde Klammern stehen für eckige und runde
> Klammern)
>
> Man muss doch in diesem Beweis beweisen, dass eine offene
> Menge aus [mm]\IR^m[/mm] auch als diese Quader darstellbar ist oder?
> Aber ich weiß einfach nicht wie so etwas aussehen soll?
Bez. wir mit [mm] Q_m [/mm] die Menge der offenen Quader im [mm] \IR^m
[/mm]
Wir nennen einen Quader $ [mm] (a_1,b_1)x...x(a_m,b_m) [/mm] $ rational, falls die [mm] a_i [/mm] und die [mm] b_i [/mm] Elemente aus [mm] \IQ [/mm] sind
Zu zeigen ist: [mm] \sigma(O_m) [/mm] = [mm] \sigma(Q_m) [/mm]
1. Es ist [mm] Q_m \subseteq O_m, [/mm] also folgt: [mm] \sigma(Q_m)\subseteq \sigma(O_m)
[/mm]
2. Sei G [mm] \in O_m [/mm] und
[mm] $J:=\{Q \in Q_m: Q \subseteq G, Q rational \}$
[/mm]
Dann ist J abzählbar, J [mm] \subset Q_m, [/mm] also ist
[mm] \bigcup_{Q \in J}^{}Q \in \sigma(Q_m)
[/mm]
Nun überlege Dir, dass [mm] G=\bigcup_{Q \in J}^{}Q [/mm]
Damit ist G [mm] \in \sigma(Q_m)
[/mm]
Fazit: [mm] O_m \subseteq \sigma(Q_m). [/mm] Folglich: [mm] \sigma(O_m) \subseteq \sigma(Q_m)
[/mm]
>
>
>
> > Zu b)
> >
> > Für a [mm]\in \IR[/mm] ist
> >
> > [mm]\{ x \in \Omega: (sup_n_\in_\IN X_n)(x) \le a \} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \{x \in \Omega: X_n(x) \le a \}[/mm]
>
> >
> > Hilft das ?
>
> Der Funke springt noch nicht rüber :-/
Da alle [mm] X_n [/mm] meßbar sind, ist $ [mm] \{x \in \Omega: X_n(x) \le a \}$ [/mm] meßbar für jedes n
Damit ist [mm] $\bigcap_{n=1}^{\infty} \{x \in \Omega: X_n(x) \le a \}$ [/mm] meßbar, also ist
$ [mm] \{ x \in \Omega: (sup_n_\in_\IN X_n)(x) \le a \}$
[/mm]
messbar. Da a beliebig war, ist [mm] sup_n_\in_\IN X_n [/mm] meßbar
FRED
>
> Danke für die Hilfe!
>
> Lieben Gruß
> Lysin
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Hallo,
mache diese Aufgabe auch grade und hab eine Frage zur b)
hab das jetzt für [mm] inf_n_\in_\IN X_n [/mm] gemacht:
Sei a [mm] \in \IR
[/mm]
{ x [mm] \in \Omega: (inf_n_\in_\IN X_n)(x) [/mm] <a} = [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} [/mm] {x [mm] \in \Omega: X_n(x) [/mm] < a }
jetzt wieder die gleiche begründung:
Da alle [mm] X_n [/mm] meßbar sind, ist {x [mm] \in \Omega: X_n(x) [/mm] < a } meßbar für jedes n
Damit ist [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} [/mm] {x [mm] \in \Omega: X_n(x) [/mm] < a } meßbar, also ist
{ x [mm] \in \Omega: (inf_n_\in_\IN X_n)(x) [/mm] < a} meßbar. Da a beliebig war ist auch [mm] inf_n_\in_\IN X_n [/mm] meßbar .
Stimmt das so?
Wenn ja würde das reichen oder muss ich für diesen fall und de mit [mm] sup_n_\IN X_n [/mm] noch etwas mehr zeigen?
gruß und danke schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Sa 20.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
habe eine Frage:
> Zu b)
>
> Für a [mm]\in \IR[/mm] ist
>
> [mm]\{ x \in \Omega: (sup_n_\in_\IN X_n)(x) \le a \} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \{x \in \Omega: X_n(x) \le a \}[/mm]
Ich verstehe nicht, warum das Supremum der Schnitt (und nicht die Vereinigung) all dieser Mengen ist. Kann mir das jemand erklären?
Vielen Dank im Voraus!
Gruß, Gratwanderer
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Hallo,
die Menge auf der linken Seite ist einfach die Menge aller Elemente aus Omega, für die gilt, dass egal wie ich mein n wähle, der Wert von [mm] X_n(x) [/mm] immer [mm] \le [/mm] a ist. Das ist ja genau die rechte Seite, denn für die gilt ja, dass, falls es irgendein n' gibt für das [mm] X_{n'}(x) [/mm] > a gilt, dann dieses x aus dem gesamten Schnitt rausfliegt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Mo 22.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Es gilt doch:
[mm] (sup_n_\in_\IN X_n)(x) \le [/mm] a [mm] \gdw X_n(x) \le [/mm] a für jedes n
FRED
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