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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 So 13.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | Seien [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2} [/mm] Mengensysteme über eine Menge [mm] \Omega.
[/mm]
Beweisen Sie:
[mm] E_{1} \subseteq E_{2} \Rightarrow \sigma(E_{1}) \subseteq \sigma(E_{2}) [/mm] |
Hallo,
möchte obiges beweisen.
Also ich weiß, dass wenn ich eine Grundmenge X habe, dann heißt jede Teilmenge S der Potenzmenge P(X) = { A | A [mm] \subseteq [/mm] X } Mengensystem über X.
Ich kenne auch die Definition der [mm] \sigma [/mm] -Algebra:
1. Die Grundmenge ist in der [mm] \sigma [/mm] -Algebra enthalten. Also [mm] \Omega \in \mathcal{A}
[/mm]
2. Wenn A eine Teilmenge von [mm] \Omega [/mm] ist und A in der [mm] \sigma [/mm] -Algebra ist, dann ist auch [mm] A^{C} [/mm] in der [mm] \sigma [/mm] -Algebra.
3. die Vereinigung aller abzählbarer Teilmengen die in der [mm] \sigma [/mm] -Algebra sind, sind auch in der [mm] \sigma [/mm] -Algebra.
Ich weiß aber trotzdem nicht wie ich diesen Beweis aufstellen soll.
Kann mir jemand helfen?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 So 13.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm]E_{1}[/mm] und [mm]E_{2}[/mm] Mengensysteme über eine Menge
> [mm]\Omega.[/mm]
>
> Beweisen Sie:
>
> [mm]E_{1} \subseteq E_{2} \Rightarrow \sigma(E_{1}) \subseteq \sigma(E_{2})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Hallo,
>
> möchte obiges beweisen.
>
> Also ich weiß, dass wenn ich eine Grundmenge X habe, dann
> heißt jede Teilmenge S der Potenzmenge P(X) = { A | A
> [mm]\subseteq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X } Mengensystem über X.
>
> Ich kenne auch die Definition der [mm]\sigma[/mm] -Algebra:
>
> 1. Die Grundmenge ist in der [mm]\sigma[/mm] -Algebra enthalten.
> Also [mm]\Omega \in \mathcal{A}[/mm]
> 2. Wenn A eine Teilmenge von
> [mm]\Omega[/mm] ist und A in der [mm]\sigma[/mm] -Algebra ist, dann ist auch
> [mm]A^{C}[/mm] in der [mm]\sigma[/mm] -Algebra.
> 3. die Vereinigung aller abzählbarer Teilmengen die in
> der [mm]\sigma[/mm] -Algebra sind, sind auch in der [mm]\sigma[/mm]
> -Algebra.
>
> Ich weiß aber trotzdem nicht wie ich diesen Beweis
> aufstellen soll.
>
> Kann mir jemand helfen?
ja: [mm] [blue]$\sigma(E)$ [/mm] für $E [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] ist per Definitionem die kleinste Sigma-Algebra
über [mm] $\Omega,$ [/mm] die [mm] $E\,$ [/mm] (als Teilmenge) enthält; d.h.:
Ist also [mm] $S_E$ [/mm] (irgend-)eine Sigma-Algebra über [mm] $\Omega,$ [/mm] die nur $E [mm] \subseteq S_E$ [/mm] erfüllt,
so folgt schon automatisch [mm] $\sigma(E) \subseteq S_E.$[/blue] [/mm] (In diesem mengentheoretischen
Sinne ist hier "kleinste" zu verstehen!)
Kennst Du diese Charakterisierung:
[mm] $(\star)$ $\sigma(E)=\bigcap_{\substack{E' \text{ist Sigma-Algebra}\\\text{über }\Omega\text{ mit }E \subseteq E'}}E'$ [/mm] ?
Damit kannst Du die Aufgabe quasi als Einzeiler lösen.
Falls nicht: Zeige, dass aus [mm] $E_1 \subseteq E_2$ [/mm] folgt:
[mm] $(\star\star)$ $\sigma(E_2)$ [/mm] ist eine Sigma-Algebra, die [mm] $E_1$ [/mm] enthält.
(Im Prinzip macht man bei der Gleichung mit [mm] $(\star)$ [/mm] auch nichts anderes.)
Denn dann ist mit dem blaugeschriebenen Teil auch schon alles, was es zu
beweisen gilt, erledigt.
P.S. Schau' bei Gelegenheit vielleicht auch mal in das Buch
Maß und Wahrscheinlichkeit (Schmidt),
denn dieses Prinzip kommt in der Mathematik sehr oft vor - und eine Analogie
findest Du dort bzgl. [mm] $\tau(\mathcal{E})$ [/mm] - die kleinste Topologie, die [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] enthält (Seite 10!)...
Gruß,
Marcel
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