Euklidische Ringe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Sa 24.04.2004 | | Autor: | Jessica |
Nach längerer ZEit, mal wieder ne Frage von mir, aber erstmal HALLO!
ICh habe diese Aufgabe hier, könntet ihr mir vielleicht ein paar Tipps geben?!
Für[mm] n\in\IZ[/mm] sei [mm] R = \IZ[\wurzel{n}]:=[a+b*\wurzel{n}|a,b \in\IZ]\subseteq\IC [/mm] (Die eckigen Klammern sind eigentlich Mengen Klammern!). Auf R definieren wir die Norm [mm] N:R->{\IN_0} [/mm] durch [mm] N(a+b*\wurzel{n})=|a²-nb²| [/mm]. Zeigen sie:
a) R ist ein Teilring von [mm] \IC [/mm]
b) N(xy) =N(x)*N(y) für alle [mm]x\in{R}[/mm].
c) [[mm]x\in\ R [/mm]|es gibt ein [mm]y\in\ R [/mm] mit xy=1] = [[mm] x\in\ R[/mm]|N(x)=1] (Die eckigen Klammern sind eigentlich Mengen Klammern!)
d) ([mm] \IZ[\wurzel{-1}] [/mm],N) und ([mm] \IZ[\wurzel{-2}] [/mm],N) sind Euklidische Ringe.
Also, bei a) weiß ich nicht so recht wie ich das beweisen kann. Ich habe schon in meheren Bücher nachgeschlagen, aber nicht gefunden, was fü Bedingugen gelten müssen, damit R ein Teilring ist. HILFE!
b) und c) habe ich schon bewiesen. Bei d) hänge ich auch. Damit ([mm] \IZ[\wurzel{-1}] [/mm],N) und ([mm] \IZ[\wurzel{-2}] [/mm],N) Euklidische Ringe sind müssen sie erst Intigritätsbereiche sein. Dies habe ich wie folgt bewiesen:
[mm] xy=0 \Rightarrow N(xy)=0=N(x)*N(y)\Rightarrow N(x)=0 oder N(y)=0\Rightarrow x=0 oder y=0 [/mm].
Als nächstes müsste ich ja noch beweisen, dass für y und x ein q und ein r existiert, so dass y=q*x+r gilt mit N(r) > N(a) gilt.
Wie komme ich jetzt auf q und r? Wenn ihr mir auch hier einen Tipp geben könntet wäre das super.
Also bis dann
Jessica.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 So 25.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Jessica!
Willkommen zurück im Matheraum! 
> Für[mm] n\in\IZ[/mm] sei [mm]R = \IZ[\wurzel{n}]:=[a+b*\wurzel{n}|a,b \in\IZ]\subseteq\IC[/mm]
> (Die eckigen Klammern sind eigentlich Mengen Klammern!).
> Auf R definieren wir die Norm [mm]N:R->{\IN_0}[/mm] durch
> [mm]N(a+b*\wurzel{n})=|a²-nb²| [/mm]. Zeigen sie:
> a) R ist ein Teilring von [mm]\IC[/mm]
> b) N(xy) =N(x)*N(y) für alle [mm]x\in{R}[/mm].
> c) [[mm]x\in\ R [/mm]|es gibt ein [mm]y\in\ R[/mm] mit xy=1] = [[mm] x\in\ R[/mm]|N(x)=1]
> (Die eckigen Klammern sind eigentlich Mengen Klammern!)
> d) ([mm] \IZ[\wurzel{-1}] [/mm],N) und ([mm] \IZ[\wurzel{-2}] [/mm],N) sind
> Euklidische Ringe.
> Also, bei a) weiß ich nicht so recht wie ich das beweisen
> kann. Ich habe schon in meheren Bücher nachgeschlagen, aber
> nicht gefunden, was fü Bedingugen gelten müssen, damit R
> ein Teilring ist. HILFE!
Du musst nur zeigen, dass [mm]R[/mm] nicht leer ist und dass mit [mm]a,\, b \in R[/mm] auch [mm]a-b \in R[/mm] sowie [mm]a \cdot b \in R[/mm] gilt.
Das ist alles nicht schwierig. Zeige es aber zur Übung und teile uns deinen Beweis hier im Forum mit.
> b) und c) habe ich schon bewiesen.
Dann teile uns deine Beweise bitte auch mit.
> Bei d) hänge ich auch.
> Damit ([mm] \IZ[\wurzel{-1}] [/mm],N) und ([mm] \IZ[\wurzel{-2}] [/mm],N)
> Euklidische Ringe sind müssen sie erst Intigritätsbereiche
> sein. Dies habe ich wie folgt bewiesen:
>
> [mm]xy=0 \Rightarrow N(xy)=0=N(x)*N(y)\Rightarrow N(x)=0 oder N(y)=0\Rightarrow x=0 oder y=0 [/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Zeige aber erst [mm]N(x)=0 \Leftrightarrow x=0[/mm], aber ich denke mal, das habt ihr in der Vorlsung bereits gemacht.)
> Als nächstes müsste ich ja noch beweisen, dass für y und x
> ein q und ein r existiert, so dass y=q*x+r gilt mit N(r) >
> N(a) gilt.
Du meinst mit [mm]N(r)
Hmmh, aber auch das ist nicht ganz korrekt.
Ich behandle jetzt nur den Fall [mm]\IZ[\sqrt{-1}][/mm], der Fall [mm]\IZ[\sqrt{-2}][/mm] kann vollkommen analog abgehandelt werden und bleibt dir zur Übung überlassen. Poste deinen Beweis aber unbedingt anschließend zur Kontrolle hier ins Forum!
Also: Du musst folgendes zeigen:
Es seien [mm]x,y \in \IZ[\sqrt{-1}]^{\*}[/mm] mit [mm]x \not\vert y[/mm] und [mm]N(y)\ge N(x)[/mm] vorgegeben. Dann gibt es Elemente [mm]q \in \IZ[\sqrt{-1}][/mm], [mm]r \in \IZ[\sqrt{-1}]^{\*}[/mm], so dass gilt:
[mm]y = qx + r[/mm] mit [mm]N(r)
(Denn so ist ein Euklidischer Ring definiert.)
Jetzt zum Beweis: Wegen [mm]x \ne 0[/mm] gilt (Übergang zum Körper [mm]\IQ[\sqrt{-1}][/mm]!):
[mm]\frac{y}{x} = c_0 + c_1 \sqrt{-1}[/mm]
mit [mm]c_0, c_1 \in \IQ[/mm].
Es gibt [mm]g_0,\, g_1 \in \IZ[/mm] und [mm]d_0,d_1 \in \IQ[/mm], [mm]|d_0|\le \frac{1}{2}[/mm], [mm]|d_1|\le \frac{1}{2}[/mm], so dass
[mm]c_0 = g_0 + d_0[/mm],
[mm]c_1 = g_1 + d_1[/mm].
Wir definieren nun:
[mm]q:= g_0 + g_1\sqrt{-1} \in \IZ[\sqrt{-1}][/mm],
[mm]r:= y - q\cdot x \in \IZ[\sqrt{-1}][/mm],
[mm]\delta:= d_0 + d_1\sqrt{-1} \in \IQ[\sqrt{-1}][/mm].
Dann gilt nach Definition:
[mm]y = q\cdot x + r[/mm],
wobei
[mm]r = \delta \cdot x \in \IZ[\sqrt{-1}]^{\*}[/mm]
gilt wegen: (1) [mm]x \in \IZ[\sqrt{-1}]^{\*}[/mm], (2) [mm]x \not\vert y[/mm], also: [mm]\delta \in \IQ[\sqrt{-1}]^{\*}[/mm], und (3) [mm]r \in \IZ[\sqrt{-1}][/mm].
Es gilt nach dem Normenproduktsatz für [mm]\IQ[\sqrt{-1}][/mm]:
[mm]N(r) = N(x) \cdot N(\delta)[/mm].
Wegen [mm]|d_0|\le \frac{1}{2}[/mm] und [mm]|d_1|\le \frac{1}{2}[/mm] gilt:
[mm]N(\delta) = d_0^2 + d_1^2 \le \frac{1}{2}<1[/mm].
Dies impliziert, da [mm]N(x)\ne 0[/mm] wegen [mm]x \ne 0[/mm] gilt:
[mm]N(r) = N(x) \cdot N(\delta) < N(x)[/mm].
Da nach Voraussetzung zudem [mm]N(x) \le N(y)[/mm] gilt, folgt:
[mm]N(r) < N(x) \le N(y)[/mm],
was zu zeigen blieb.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 So 25.04.2004 | | Autor: | Jessica |
Danke erstmal, aber noch mal auf a) zurück zu kommen. Mir ist das jetzt schon klar dass R keine leere Menge ist, aber wie beweise ich das jetzt?!
Und hier sind dann meine die geforderten Beweise:
Zu a)
[mm]x-y=(a+b\wurzel{n})-(a+b'\wurzel{n})[/mm]
Sei d'=a-a'
e' = b-b'
[mm]x*y=(a+b\wurzel{n})*(a'+b'\wurzel{n})[/mm]
Sei d''=aa'+bb'n
e''=ab'+a'b
Da [mm]R\ne\empty[/mm] und aus [mm]x,y\in R[/mm] folgt [mm]a+b\in R, a-b\in R[/mm] sowie [mm]a*b\in R[/mm] ist [mm]R=\IZ[\wurzel{n}][/mm] ein Teilring von [mm]\IC[/mm]
Zu b)
Sei [mm]x=a+b\wurzel{n}[/mm] und [mm]y=a'+b'\wurzel{n}[/mm] dann ist
[mm]x*y=(a+b\wurzel{n})*(a'+b'\wurzel{n})[/mm]
[mm]=a*a'+a*b'\wurzel{n}+a'*b\wurzel{n}+b*b'*n[/mm]
Somit folgt:
[mm]N(x*y)=N((aa'+bb'n)+(ab'+a'b)\wurzel{n}[/mm]
[mm]=|(aa'+bb'n)²-n(ab'+a'b)²|[/mm]
[mm]=|a²a'²+2aa'bb'n+b²b'²n²-n(a²b'2+2aa'bb'+a'²b²)|[/mm]
[mm]=|a²a'²+2aa'bb'n+b²b'²n²-a²b'²n-2aa'bb'n-a'²b²n|[/mm]
[mm]=|a²a'²+b²b'²n²-a²b'²n-a'²b²n|[/mm]
[mm]=|a²(a'²-nb'²)-nb²(a'²-nb'²)|[/mm]
[mm]=|(a²-nb²)(a'²-nb'²)|=|a²-nb²|*|a'²-nb'²|[/mm]
[mm]=N(a+b\wurzel{n})*N(a'+b'\wurzel{n})[/mm]
[mm]=N(x)*N(y)[/mm]
Folglich gilt für alle [mm]x,y\inR N(xy)=N(X)*N(y)[/mm].
Zu c)
Sei [mm]M=[x\inR|es gibt ein y\inR mit xy=1][/mm]
In der Menge M befinden sich die Elemente [mm]x\inR[/mm], für die es ein [mm]y\inR[/mm] gibt mit xy=1.
Es gibt [mm]xy=1=1+0\wurzel{n}[/mm], da xy=1 ist und somit nicht von n abhängt. Folglich ist dann die Norm von xy gleich:
[mm]N(xy)=N(1+0\wurzel{n})=|1²+n0²|=|1²|=1[/mm]
Deswegen gilt:
[mm]M=[x\inR|es gibt ein y\inR mit xy=1][/mm].
Wegen b) gilt:
[mm]N(xy)=N(x)N(y)=1[/mm]
Somit befindet sich in M auch die Elemene [mm]x\inR[/mm], für die es ein [mm]y\inR[/mm] gibt mit [mm]N(x)N(y)=1[/mm]. Also [mm]M=[x\inR|es gibt ein y\inR mit xy=1][/mm].Da [mm]N(x)N(y)=1[/mm] ist, gilt auch
[mm]N(x)N(y)=1[/mm]
[mm]\gdw N(x)=1/N(y) \in\IN_0[/mm]
Weil [mm]N(x)\in\IN_0[/mm] sein muss, kann nur N(y)=1 gelten. Bei allen anderen Werten aus [mm]\IN_0[/mm], wäre [mm]N(x)=1/N(y) \in\IQ_\ge 0[/mm] somit folgt, dass
[mm]N(x)=1/N(y)=1/1=1[/mm] ist.
Deswegen gilt, dass sich in M somit die Elemente [mm]x\inR[/mm] definden, deren Norm gleich 1 ist, d.h. [mm]M=[x\inR|N(x)=1][/mm]
Somit gilt:
[mm][x\inR|es gibt ein y\inR mit xy=1]=[x\inR|N(x)=1][/mm]
Ja, das sind die Beweise!
Liebe Grüße
Jessica
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 So 25.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Jessica!
Vielen Dank für die Nachlieferung der Beweise.
> Danke erstmal, aber noch mal auf a) zurück zu kommen. Mir
> ist das jetzt schon klar dass R keine leere Menge ist, aber
> wie beweise ich das jetzt?!
Naja, da gibt es nichts zu beweisen. Gib halt ein Element an, zum Beispiel [mm]0=0 + 0\sqrt{n} \in R[/mm].
> Und hier sind dann meine die geforderten Beweise:
Zur Verdeutlichung: Das ist keine Schikane von mir, und es war mehr eine Bitte als eine Forderung. Meine Gründe: Erstens kannst du deine Beweise dadurch kontrollieren lassen und zweitens versteht sich unser Forum, im Gegensatz zu vielen anderen Matheforen, als Mitgliedergemeinschaft, die von "Geben" und "Nehmen" lebt. Sprich: Ich erwarte von jemandem, der Fragen stellt, auch, dass er sämtliche Ideen und Lösungsansätze, die er zu der Aufgabe bereits hat, und hierbei vor allem die kompletten Lösungen bereits fertiggestellter Lösungen, mitteilt, damit andere Mitglieder, die sich ebenfalls für die Aufgabe interessieren und sie vielleicht gerne lösen möchten, auch einen Nutzen davon haben. Ich kriege die Aufgaben natürlich auch so hin, aber manch anderer, der vielleicht im ersten, zweiten Semester ist, möchte vielleicht an der Aufgabe teilhaben und von deinen bisherigen Ergebnissen profitieren.
> Zu a)
Es seien [mm]x := a + b\sqrt{n} \in \IZ[\sqrt{n}][/mm], [mm]y:= a' + b'\sqrt{n} \in \IZ[\sqrt{n}][/mm].
Dann gilt:
> [mm]x-y=(a+b\wurzel{n})-(a+b'\wurzel{n})[/mm]
Hier fehlt ein Strich beim [mm]a[/mm] , ansonsten: .
> Sei d'=a-a'
> e' = b-b'
Damit gilt: [mm]x-y = d' + e'\sqrt{n} \in \IZ[\sqrt{n}][/mm].
> [mm]x*y=(a+b\wurzel{n})*(a'+b'\wurzel{n})[/mm]
> Sei d''=aa'+bb'n
> e''=ab'+a'b
Und damit gilt: [mm]x \cdot y = d'' + e''\sqrt{n} \in \IZ[\sqrt{n}][/mm].
> Da [mm]R\ne\empty[/mm] und aus [mm]x,y\in R[/mm] folgt [mm]a+b\in R, a-b\in R[/mm]
> sowie [mm]a*b\in R[/mm] ist [mm]R=\IZ[\wurzel{n}][/mm] ein Teilring von [mm]\IC[/mm]
> Zu b)
>
> Sei [mm]x=a+b\wurzel{n}[/mm] und [mm]y=a'+b'\wurzel{n}[/mm] dann ist
> [mm]x*y=(a+b\wurzel{n})*(a'+b'\wurzel{n})[/mm]
> [mm]=a*a'+a*b'\wurzel{n}+a'*b\wurzel{n}+b*b'*n[/mm]
>
> Somit folgt:
>
> [mm]N(x*y)=N((aa'+bb'n)+(ab'+a'b)\wurzel{n}[/mm]
> [mm]=|(aa'+bb'n)²-n(ab'+a'b)²|[/mm]
> [mm]=|a²a'²+2aa'bb'n+b²b'²n²-n(a²b'2+2aa'bb'+a'²b²)|[/mm]
> [mm]=|a²a'²+2aa'bb'n+b²b'²n²-a²b'²n-2aa'bb'n-a'²b²n|[/mm]
> [mm]=|a²a'²+b²b'²n²-a²b'²n-a'²b²n|[/mm]
> [mm]=|a²(a'²-nb'²)-nb²(a'²-nb'²)|[/mm]
> [mm]=|(a²-nb²)(a'²-nb'²)|=|a²-nb²|*|a'²-nb'²|[/mm]
> [mm]=N(a+b\wurzel{n})*N(a'+b'\wurzel{n})[/mm]
> [mm]=N(x)*N(y)[/mm]
> Folglich gilt für alle [mm]x,y\inR N(xy)=N(X)*N(y)[/mm].
Sehr schön! Das ist sehr gut nachvollziehbar!
> Zu c)
>
> Sei [mm]M=[x\inR|es gibt ein y\inR mit xy=1][/mm]
> In der Menge M
> befinden sich die Elemente [mm]x\inR[/mm], für die es ein [mm]y\inR[/mm] gibt
> mit xy=1.
> Es gibt [mm]xy=1=1+0\wurzel{n}[/mm], da xy=1 ist und somit nicht
> von n abhängt. Folglich ist dann die Norm von xy gleich:
>
> [mm]N(xy)=N(1+0\wurzel{n})=|1²+n0²|=|1²|=1[/mm]
>
> Deswegen gilt:
>
> [mm]M=[x\inR|es gibt ein y\inR mit xy=1][/mm].
Was war das jetzt für ein Schritt? Den habe ich nicht verstanden. Du hast [mm]M[/mm] oben definiert, und folgerst jetzt wiederum diese Definition. Hast du dich vielleicht vertippt? Was wolltest du damit zeigen?
> Wegen b) gilt:
> [mm]N(xy)=N(x)N(y)=1[/mm]
>
> Somit befindet sich in M auch die Elemene [mm]x\inR[/mm], für die
> es ein [mm]y\inR[/mm] gibt mit [mm]N(x)N(y)=1[/mm]. Also [mm]M=[x\inR|es gibt ein y\inR mit xy=1][/mm].
Nochmal das Gleiche. Jetzt bin ich vollkommen verwirrt...
Da
> [mm]N(x)N(y)=1[/mm] ist, gilt auch
>
> [mm]N(x)N(y)=1[/mm]
> [mm]\gdw N(x)=1/N(y) \in\IN_0[/mm]
>
> Weil [mm]N(x)\in\IN_0[/mm] sein muss, kann nur N(y)=1 gelten. Bei
> allen anderen Werten aus [mm]\IN_0[/mm], wäre [mm]N(x)=1/N(y) \in\IQ_\ge 0[/mm]
Das sagt gar nichts aus und ist so falsch argumentiert.
Du meinst: Wäre [mm]N(y) \ne 1[/mm], so wäre [mm]N(x) \notin \IN[/mm], was einen Widerspruch zu der Eigenschaft der Norm in [mm]\IZ[\sqrt{n}][/mm] darstellt ausschließlich natürliche Werte anzunehmen.
> somit folgt, dass
>
> [mm]N(x)=1/N(y)=1/1=1[/mm] ist.
Bis auf die Sache oben ist das so in Ordnung.
> Deswegen gilt, dass sich in M somit die Elemente [mm]x\inR[/mm]
> definden, deren Norm gleich 1 ist, d.h. [mm]M=[x\inR|N(x)=1][/mm]
Bisher hast du nur gezeigt, dass aus [mm]x\in M[/mm] folgt: [mm]N(x)=1[/mm].
Du musst jetzt noch zeigen, dass aus [mm]N(x)=1[/mm] folgt, dass [mm]x \in M[/mm] gilt.
Bitte trage das noch nach. Wenn du es nicht hinbekommst, kannst du dich ja wieder melden. (Tipp: Führe (unter Verwendung des Aufgabenteils d) eine Division mit Rest durch: [mm]1 = qx + r[/mm].)
> Somit gilt:
>
> [mm][x\inR|es gibt ein y\inR mit xy=1]=[x\inR|N(x)=1][/mm]
>
> Ja, das sind die Beweise!
Sehr schön aufgeschrieben, zum größten Teil. Bitte trage den fehlenden Beweisschritt in c) noch nach, zur Kontrolle.
Bist du denn mit meinem Beweis in d) zurchtgekommen? Wenn nein, wo gab es Probleme? Wenn du dich meldest und nachfragst, helfe ich dir sehr gerne weiter.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Mo 26.04.2004 | | Autor: | Jessica |
Also ich meinte das auch nicht so böse mit "geforderten Beweise" und ich verstehe auch warum. Es war sogar gut, denn so hätte ich die Rückrichtung von c) vergessen. So jetzt aber zu deinem Beweis zu d).
Also bei deinem Beweis verwirrt mic deine Definition für einen euklidischen Ring, denn so wie ich die Definition kenne müssten [mm]x,y\in \IZ [\wurzel{-1}][/mm] sowie [mm]q,r\in \IZ [\wurzel{-1}][/mm] und wenn y=qx+r gilt ist N(r) < N(x).
Außerdem wollte ich wissen, ob du [mm] |d_0|\le \frac{1}{2} [/mm] und [mm] |d_1|\le \frac{1}{2} [/mm] so definierst, oder dann wiso das so gilt. Und wie kommst du auf [mm] r = \delta \cdot x[/mm], das habe ich auch noch nicht nachvollziehen können.
Bis dann Jessica
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mo 26.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Jessica!
> Also ich meinte das auch nicht so böse mit "geforderten
> Beweise" und ich verstehe auch warum. Es war sogar gut,
> denn so hätte ich die Rückrichtung von c) vergessen.
Gut, dann sind wir uns ja einig. Das freut mich.
>So
> jetzt aber zu deinem Beweis zu d).
>
> Also bei deinem Beweis verwirrt mic deine Definition für
> einen euklidischen Ring, denn so wie ich die Definition
> kenne müssten [mm]x,y\in \IZ [\wurzel{-1}][/mm] sowie [mm]q,r\in \IZ [\wurzel{-1}][/mm]
> und wenn y=qx+r gilt ist N(r) < N(x).
Okay, gut dass du das schreibst. Es gibt zwei mögliche Definitionen für einen Euklidischen Ring. Aus "meiner" Definition "folgt" sozusagen deine Definition, d.h. "meine" Definition hat etwas stärkere Bedingungen.
Aber du solltest dann auch deine Definition nehmen. Aber so stark ändert sich der Beweis dann ja nicht, oder? Versuche es mal und poste ihn zur Kontrolle.
> Außerdem wollte ich wissen, ob du [mm]|d_0|\le \frac{1}{2}[/mm] und
> [mm]|d_1|\le \frac{1}{2}[/mm] so definierst, oder dann wiso das so
> gilt.
Ich argumentiere, dass ich [mm] $g_0$, $g_1$, $d_0$ [/mm] und [mm] $d_1$ [/mm] so wählen kann, dass diese Beziehungen gelten. Aber das ist relativ klar: Ich betrachte zu einer rationalen Zahl die beiden benachbarten ganzen Zahlen. Eine der beiden Zahlen hat zwangsläufig einen Abstand, der höchstens [mm]\frac{1}{2}[/mm] ist. Klar? (Wenn nicht, dann frage bitte nach.)
> Und wie kommst du auf [mm]r = \delta \cdot x[/mm], das habe
> ich auch noch nicht nachvollziehen können.
Nun, wir hatten:
[mm]\frac{y}{x} = c_0 + c_1 \sqrt{-1} = g_0 + g_1 \sqrt{-1} + d_0 + d_1 \sqrt{-1} = q + \delta[/mm].
Jetzt multiplizieren wir mit [mm]x[/mm] durch:
(1) [mm]y = qx + \delta x[/mm].
Andererseits gilt:
(2) [mm]y = qx + r[/mm].
Aus (1) und (2) folgt: [mm]\delta x = r[/mm].
Jetzt klarer?
Versuche doch jetzt noch einmal den Beweis, mit der dir bekannten Definition eines Euklidischen Ringes (die im übrigen auch die geläufigere Variante ist...)
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mo 26.04.2004 | | Autor: | Jessica |
Ja hallo Stefan,
ich habe jetzt den Beweis für d) versucht:
Wegen [mm] x \ne 0 [/mm] gilt dann auch:
[mm] \frac{y}{x} = c_0 + c_1 \sqrt{-1} [/mm] mit [mm] c_0, c_1 \in \IQ [/mm]
Somit gibt es [mm] g_0,\, g_1 \in \IZ [/mm] und [mm] d_0,d_1 \in \IQ [/mm] , [mm] |d_0|\le \frac{1}{2} [/mm] , [mm] |d_1|\le \frac{1}{2} [/mm] , so dass [mm] c_0 = g_0 + d_0 [/mm], [mm] c_1 = g_1 + d_1 [/mm]
Definiert man nun:
[mm] q:= g_0 + g_1\sqrt{-1} \in \IZ[\sqrt{-1}] [/mm]
[mm] r:= y - q\cdot x \in \IZ[\sqrt{-1}] [/mm]
[mm] \delta:= d_0 + d_1\sqrt{-1} \in \IQ[\sqrt{-1}] [/mm]
Dann gilt nach Definition:
[mm] y = q\cdot x + r [/mm],
wobei
[mm] r = \delta \cdot x \in \IZ[\sqrt{-1}] [/mm]
gilt wegen: (1) [mm] x \in \IZ[\sqrt{-1}][/mm], (2) [mm] x \not\vert y [/mm] , also: [mm] \delta \in \IQ[\sqrt{-1}][/mm] , und (3) [mm] r \in \IZ[\sqrt{-1}] [/mm].
Es gilt nach dem Normenproduktsatz für [mm] \IQ[\sqrt{-1}] [/mm]:
[mm] N(r) = N(x) \cdot N(\delta) [/mm].
Wegen [mm] |d_0|\le \frac{1}{2} [/mm] und mm] [mm] |d_1|\le \frac{1}{2} [/mm] [/mm] gilt:
[mm] N(\delta) = d_0^2 + d_1^2 \le \frac{1}{2}<1 [/mm].
Dies beinhaltet, aufgrund [mm] N(x)\ne 0 [/mm] wegen [mm] x \ne 0 [/mm], dass [mm] N(r) = N(x) \cdot N(\delta) < N(x) [/mm], was zu zeigen war.
[mm] \delta:= d_0 + d_1\sqrt{-2}[/mm]
[mm] N(\delta) = |d_0^2 + d_1^2 |= d_0^2 + d_1^2\le \frac{1}{4}+2\frac{1}{4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}<1[/mm]
Für [mm]\IZ[\sqrt{-2}] [/mm] würde sich doch dann nur der Schluss ändern und zwar:
Wegen [mm] |d_0|\le \frac{1}{2} [/mm] und [mm] |d_1|\le \frac{1}{2} [/mm] gilt dann [mm] N(\delta) = d_0^2 + d_1^2 \le \frac{3}{4}<1 [/mm].
Dies beeinhaltet, aufgrund [mm] N(x)\ne 0 [/mm] wegen [mm] x \ne 0 [/mm], dass [mm] N(r) = N(x) \cdot N(\delta) < N(x) [/mm], was zu zeigen war.
Kann man den Beweis so machen?
Liebe Grüße
Jessica
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Mo 26.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Jessica,
ich habe es kurz überflogen und keinen Fehler gesehen. Nur etws Unnötiges:
> gilt wegen: (1) [mm]x \in \IZ[\sqrt{-1}][/mm], (2) [mm]x \not\vert y[/mm] ,
> also: [mm]\delta \in \IQ[\sqrt{-1}][/mm] , und (3) [mm]r \in \IZ[\sqrt{-1}] [/mm].
Das kannst du weglassen. Damit wollte ich zeigen, dass es sich um eine Einheit handelt (was du aber bei deiner Definition nicht brauchst!).
Du hast ja direkt: [mm]r \in \IZ[\sqrt{-1}][/mm], und mehr brauchst du gar nicht.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Mo 26.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Jessica!
> dann [mm]N(\delta) = d_0^2 + d_1^2 \le \frac{3}{4}<1 [/mm].
Hier fehlt eine [mm]2[/mm] vor dem [mm]d_1^2[/mm], aber das war wohl nur ein Schreibfehler.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:30 Di 27.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Jessica!
Was ich dir noch sagen wollte: Du bist mathematisch echt gut geworden!! Wenn ich so an deine Fragen zu Beginn denke und was du jetzt alleine alles so hinbekommst, kann ich nur sagen: Respekt, du bist auf einem Super-Weg!
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
