Euklidischer Algorithmus < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (a) Berechnen Sie mit der Hilfe des Euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler t der Polynome p(x) = [mm] 28x^5 [/mm] - [mm] 66x^4 [/mm] + [mm] 60x^3 [/mm] - [mm] 32x^2 [/mm] + 29x + 5 und q(x) = [mm] 14x^3 [/mm] - [mm] 33x^2 [/mm] + 23x + 4 im Polynomring [mm] \IR[x].
[/mm]
(b) Bestimmen Sie Polynome a, b [mm] \in \IR[x] [/mm] und p,q wie in (a) mit ap + bq = t.
(c) Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler von p(x) = [mm] x^5 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 2x + 2 und q(x) = [mm] 2x^3 [/mm] + 2x + 1 im Polynomring [mm] \IZ_3[x]. [/mm] |
Hallo.
Ich habe mich mal an den folgenden Aufgaben versucht und habe mal einige Nachfrage zu den Aufgaben.
zu (a).
Hier ist der ggt(p(x),q(x)) gesucht.
Ich suche nun b und [mm] r_0, [/mm] so dass p(x) = b*q(x) + [mm] r_0 [/mm] gilt. Mit der Hilfe der Polynomdivision erhält man b = [mm] (2x^2 [/mm] + 1) und [mm] r_0 [/mm] = -7x + 6x + 1.
Ich suche nun c und [mm] r_1, [/mm] so dass q(x) = c * [mm] (-7x^2 [/mm] + 6x + 1) + [mm] r_1 [/mm] gilt. Mit der Hilfe der Polynomdivision erhält man c = (-2x + 3) und [mm] r_1 [/mm] = (7x + 1).
Ich suche nun d und [mm] r_2, [/mm] so dass [mm] (-7x^2 [/mm] + 6x + 1) = d * (7x + 1) + [mm] r_2 [/mm] gilt. Mit der Hilfe der Polynomdivision erhält man d = (-x + 1) und [mm] r_2 [/mm] = 0.
Dann ist also ggt(p(x),q(x)) = (-x + 1).
Ist diese Rechnung so richtig?
zu (b).
Diese Aufgabe kann ich ja leider erst bearbeiten, wenn ich eine korekte Lösung für den Aufgabenteil (a) habe.
zu (c).
Ich würde hier analog zu (a) verfahren. Allerdings stört mich dieses [mm] \IZ_3[x] [/mm] dort in der Aufgabe ein wenig. Bedeutet das, dass ich nur ganze Zahl als Koeffizienten für die Polynome verwendet darf und wenn ein Ergebnis 4 ist, dieses Ergebnis eigentlich 1 ist, weil ich das mit den Restklassen betrachte, oder wie?
Vielen Dank schonmal.
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> (a) Berechnen Sie mit der Hilfe des Euklidischen
> Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler t der Polynome
> p(x) = [mm]28x^5[/mm] - [mm]66x^4[/mm] + [mm]60x^3[/mm] - [mm]32x^2[/mm] + 29x + 5 und q(x) =
> [mm]14x^3[/mm] - [mm]33x^2[/mm] + 23x + 4 im Polynomring [mm]\IR[x].[/mm]
>
> (b) Bestimmen Sie Polynome a, b [mm]\in \IR[x][/mm] und p,q wie in
> (a) mit ap + bq = t.
>
> (c) Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler von p(x) =
> [mm]x^5[/mm] + [mm]x^2[/mm] + 2x + 2 und q(x) = [mm]2x^3[/mm] + 2x + 1 im Polynomring
> [mm]\IZ_3[x].[/mm]
> Dann ist also ggt(p(x),q(x)) = (-x + 1).
Hallo,
mein elektronischer Assistent sagt, daß 7x+1 herauskommt, Du solltest nochmal nachrechnen.
> zu (c).
> Ich würde hier analog zu (a) verfahren. Allerdings stört
> mich dieses [mm]\IZ_3[x][/mm] dort in der Aufgabe ein wenig.
> Bedeutet das, dass ich nur ganze Zahl als Koeffizienten für
> die Polynome verwendet darf und wenn ein Ergebnis 4 ist,
> dieses Ergebnis eigentlich 1 ist, weil ich das mit den
> Restklassen betrachte, oder wie?
Genau. Die Koeffizienten sind Restklassen modulo 3.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank schonmal.
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Hallo.
Wie du meinen kurzen Ausführungen entnehmen kannst, habe ich 7x + 1 als Zwischenergebnis raus. Wann terminiert denn der Algorithmus? Doch dann, wenn der Rest 0 ergibt, oder?
Und was ist denn genau mein Teiler? Der Rest in der Zeile davor entsteht???
irgendwie verstehe ich das noch nicht so ganz...
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Ich habe mich jetzt schon mal mit (c) auseinander gesetzt und muss sagen, dass ich damit überhaupt nicht zurecht komme.
[mm] (x^5 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 2x + 2) : [mm] (2x^3 [/mm] + 2x + 1) = [mm] x^2
[/mm]
[mm] -(2x^5 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] + 2x)
- - - - - - - - - - - - - - - - -
[mm] -x^5 [/mm] - [mm] 2x^3 [/mm] + 2
Dann ist das jetzt ja schon der Rest, weil ich ja nicht 1/2 als Koffizienten verwenden darf und somit nicht weiter machen kann und das sich ja so fortsetzt.
Jetzt muss ich ja aber
[mm] 2x^3 [/mm] + 2x + 1 : [mm] -x^5 [/mm] - [mm] 2x^3 [/mm] + 2
betrachten. Das klappt doch aber gar nicht.
Wo ist denn hier jetzt mein Denkfehler?!?
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So. Ich habe es jetzt mal so gemacht, wie ich denke das es richtig ist und habe bei (c) einen ggt(p(x),q(x)) = 1.
Doch das kann irgendwie nicht sein, oder?
mit welchem Programm kann man sowas denn überprüfen?
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> So. Ich habe es jetzt mal so gemacht, wie ich denke das es
> richtig ist und habe bei (c) einen ggt(p(x),q(x)) = 1.
Ich habe das auch ausgerechnet.
> Doch das kann irgendwie nicht sein, oder?
Was macht Dich stutzig?
> mit welchem Programm kann man sowas denn überprüfen?
Ich verwende einen online-Rechner: ![[]](/images/popup.gif) hier.
Gruß v. Angela
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Hallo.
Ich bin jetzt irgendwie bei Aufgabe (c) wieder überfragt Ich hatte ja ein Ergebnis von 1 als ggt, aber als ich das überprüfen wollte, klappt das so jetzt nicht mehr.
Zunächst muss ich ja betrachten:
[mm] (x^5 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 2x + 2) : [mm] (2x^3 [/mm] + 2x + 1) = [mm] 2x^2 [/mm] - 2
[mm] -(x^5 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] 2x^2)
[/mm]
----------------------------
[mm] -x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + 2x + 2
[mm] -(-x^3 [/mm] - x - 2)
-------------------------------
[mm] -x^2 [/mm] + 3x + 1
Probe:
[mm] (2x^3 [/mm] + 2x + 1) [mm] (2x^2 [/mm] - 2) - [mm] x^2 [/mm] + 3x + 1
= [mm] x^5 [/mm] - [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] - x + [mm] 2x^2 [/mm] - 2 - [mm] x^2 [/mm] + 3x + 1
= [mm] x^5 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 2x - 1
!= [mm] x^5 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 2x + 2
Dieser erste Schritt klappt ja schon nichtmal...
Aber ich sehe irgendwie nicht so wirklich den Fehler...
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> = [mm]x^5[/mm] + [mm]x^2[/mm] + 2x - 1
> != [mm]x^5[/mm] + [mm]x^2[/mm] + 2x + 2
Wieso?
Es ist doch -1=2.
Wo ist das Problem?
Gruß v. Angela
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Hallo.
Wieso ist denn -1 = 2?
Diese komischen Restklassenringe sind echt kompliziert...
Außerdem ist doch 3x = 0. Da ist doch irgendwo der Wurm drin...
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> Hallo.
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> Wieso ist denn -1 = 2?
Na, weil 2+1=3=0, also ist 2 das Inverse zu 1, dh. -1=2
> Außerdem ist doch 3x = 0. Da ist doch irgendwo der Wurm
> drin...
Wieso denn? Wobei stört Dich 3x? 3x-x=2x und 0-x=-x=2x.
Gruß v. Angela
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Hallo.
Ich versuche es dann nocheinmal.
Also es gilt ja ejtzt
[mm] (2x^3 [/mm] + 2x + 1) [mm] (2x^2 [/mm] - 2) + [mm] (-x^2 [/mm] + 3x + 1) = [mm] x^5 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 2x + 2
Nun muss ich ja weiter machen. Also ergibt sich
[mm] (2x^3 [/mm] + 2x + 1) : [mm] (-x^2 [/mm] + 3x + 1) = -2x - 2
- [mm] (2x^3 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] - 2x)
--------------------------
[mm] 2x^2 [/mm] + x + 1
- [mm] (2x^2 [/mm] - 2x - 2)
-----------------------
- x - 1
Nun wollte ich das überprüfen:
[mm] (-x^2 [/mm] + 3x + 1) (-2x - 2) + (- x - 1)
= [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] - 2x - 2x - 2 - x - 1
= [mm] 2x^3 [/mm] - x - 2 - x - 1
= [mm] 2x^3 [/mm] - 2x - 3
= [mm] 2x^3 [/mm] - 2x + 1
Aber dieses -2x das bekomme ich nicht in ein 3x umgewandelt... Somist ist da doch irgendwo schon wieder ein kleiner Wurm drin.
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> Hallo.
>
> Ich versuche es dann nocheinmal.
>
> Also es gilt ja ejtzt
> [mm](2x^3[/mm] + 2x + 1) [mm](2x^2[/mm] - 2) + [mm](-x^2[/mm] + 3x + 1) = [mm]x^5[/mm] + [mm]x^2[/mm] +
> 2x + 2
>
> Nun muss ich ja weiter machen.
Da machst Du es Dir unnötig schwer. Es ist doch [mm] -x^2[/mm] [/mm] + 3x + [mm] 1=-x^2+1.
[/mm]
Wenn Du es richtig rechnest, kommt aber dasselbe heraus.
Also ergibt sich
>
> [mm](2x^3[/mm] + 2x + 1) : [mm](-x^2[/mm] + 3x + 1) = -2x - 2
> - [mm](2x^3[/mm] - [mm]2x^2[/mm] - 2x)
Wo kommt hier das [mm] -2x^2 [/mm] her?
> = [mm]2x^3[/mm] - 2x - 3
> = [mm]2x^3[/mm] - 2x + 1
Wie kommst Du auf diese Gleichheit?
Gruß v. Angela
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Hallo.
So müsste es jetzt stimmen. Aber ich hatte auch große Probleme damit:
[mm] (2x^3 [/mm] + 2x + 1) : [mm] (-x^2 [/mm] + 3x + 1) = -2x
- [mm] (-2x^3 [/mm] - 2x)
--------------------
x + 1
Probe:
[mm] (-x^2 [/mm] + 3x + 1) : (-2x) + x + 1
= [mm] 2x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] - 2x + x + 1
= [mm] 2x^3 [/mm] - x + 1
= [mm] 2x^3 [/mm] + 2x + 1
[mm] (-x^2 [/mm] + 3x + 1) : (x + 1) = -x + 1
- [mm] (-x^2 [/mm] - x)
----------------
x + 1
x + 1
----------------
0
Damit gilt ggt(p,q) = x + 1.
Oder?
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:15 Mi 12.12.2007 | | Autor: | susimarie |
Hmmh.
Das habe ich so jetzt auch raus, aber irgendwie sollte der ggt doch 1 sein, oder?
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> Hmmh.
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> Das habe ich so jetzt auch raus, aber irgendwie sollte der
> ggt doch 1 sein, oder?
Hallo,
falls Ihr Euch auf meine Aussage dazu beruft: ich hatte das einmal schnell durchgerechnet, kann schon sein, daß es nicht richtig war.
Gruß v. Angela
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> Damit gilt ggt(p,q) = x + 1.
> Oder?
Hallo,
bei erneuter rechnung habe ich auch dieses ergebnis erhalten.
Gruß v. Angela
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Hallo.
Das ist ja alles verwirrend. Ich habe mich da gestern abend nochmal rangesetzt und bin dann wieder auf einen ggt von 1 gekommen.
Ich weiß jetzt nur nicht was richtig ist. Eigentlich habe ich das alles schritt für schritt durchgerechnet...
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> Das ist ja alles verwirrend. Ich habe mich da gestern abend
> nochmal rangesetzt und bin dann wieder auf einen ggt von 1
> gekommen.
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> Ich weiß jetzt nur nicht was richtig ist. Eigentlich habe
> ich das alles schritt für schritt durchgerechnet...
Hallo,
es ist sehr wichtig, daß man seine Ergebnisse selbst kontrollieren kann.
Es sind jetzt als ggT zwei Polynome im Rennen: 1 und x+1.
Wenn x+1 der ggT ist, ist x+1 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Polynomen.
Das bekommt ja durch Polynomdivision heraus, oder auch, indem man die Nullstellen der Polynome anschaut.
Ergebnis: es ist ein gemeinsamer Teiler, was bedeutet, daß keinesfalls 1 der ggT sein kann.
Gruß v. Angela
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> [mm](x^5[/mm] + [mm]x^2[/mm] + 2x + 2) : [mm](2x^3[/mm] + 2x + 1) = [mm]x^2[/mm]
Hallo,
hier ist v. Anfang an der Wurm drin:
Mit was mußt Du denn [mm] 2x^3 [/mm] multiplizieren, um [mm] 1x^5 [/mm] zu erhalten? Mit [mm] 2x^2!
[/mm]
Für die weitere Rechnung mag es hilfreich sein, wenn Du Dir klarmachst, daß -1=2 gilt.
Versuch's nochmal.
> weil ich ja nicht 1/2
> als Koffizienten verwenden darf
Nee, 1/2 haben wir nicht. Aber wir haben ein Inverses zur 2, und können [mm] 1*(2)^{-1} [/mm] bei Bedarf durchaus berechnen. (=1*2=2)
Gruß v. Angela
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s. weiter unten.
Gruß v. Angela
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> (a) Berechnen Sie mit der Hilfe des Euklidischen
> Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler t der Polynome
> p(x) = [mm]28x^5[/mm] - [mm]66x^4[/mm] + [mm]60x^3[/mm] - [mm]32x^2[/mm] + 29x + 5 und q(x) =
> [mm]14x^3[/mm] - [mm]33x^2[/mm] + 23x + 4 im Polynomring [mm]\IR[x].[/mm]
>
>
> zu (a).
> Hier ist der ggt(p(x),q(x)) gesucht.
> Ich suche nun b und [mm]r_0,[/mm] so dass p(x) = b*q(x) + [mm]r_0[/mm] gilt.
> Mit der Hilfe der Polynomdivision erhält man b = [mm](2x^2[/mm] + 1)
> und [mm]r_0[/mm] = -7x + 6x + 1.
> Ich suche nun c und [mm]r_1,[/mm] so dass q(x) = c * [mm](-7x^2[/mm] + 6x +
> 1) + [mm]r_1[/mm] gilt. Mit der Hilfe der Polynomdivision erhält man
> c = (-2x + 3) und [mm]r_1[/mm] = (7x + 1).
> Ich suche nun d und [mm]r_2,[/mm] so dass [mm](-7x^2[/mm] + 6x + 1) = d *
> (7x + 1) + [mm]r_2[/mm] gilt. Mit der Hilfe der Polynomdivision
> erhält man d = (-x + 1) und [mm]r_2[/mm] = 0.
>
> Dann ist also ggt(p(x),q(x)) = (-x + 1).
>
> Ist diese Rechnung so richtig?
Hallo,
Deine Rechnung an sich sieht völlig richtig aus, verkehrt ist lediglich der Schluß, den Du aus Ihr ziehst.
Es ist am Ende
[mm](-7x^2[/mm] + 6x + 1) = d *(7x + 1) + 0,
und daher ist 7x+1 Dein ggT und nicht d.
Durch Zurückrechnen kannst Du das überprüfen, wenn Du magst.
Gruß v. Angela
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Hallo.
Danke für deine Antworten.
Ich möchte zuerst noch einmal die bisherigen Ergebnisse hier posten. Damit ich sicher gehen kann, dass alle wichtigen Ergebnisse stimmen.
zu (a).
Es gilt ggt(p(x),q(x)) = 7x + 1 in [mm] \IR[x].
[/mm]
zu (b).
Noch kein gültiges Ergebnis.
zu (c).
Es gilt ggt(p(x),q(x)) = 1 in [mm] \IZ_3[x].
[/mm]
zu (b).
Kannst du mir vielleicht einen Tipp geben, wie man hier vorgehen muss um auf eine Ergebnis zu kommen.
Es sind ja a,b [mm] \in \IR[x] [/mm] gesucht mit [mm] a*(28x^5-66x^4+60x^3-32x^2+29x+5) [/mm] + [mm] b*(14x^3-33x^2+23x+4) [/mm] = 7x + 1.
Ich habe jetzt begonnen und a = 1 und b = [mm] -2x^2 [/mm] gesetzt damit sich die ersten Folgenglieder aufheben. Aber so richtig weiter komme ich damit nicht.
Gibt es einen Algorithmus, den man abarbeiten kann?
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> zu (b).
> Kannst du mir vielleicht einen Tipp geben, wie man hier
> vorgehen muss um auf eine Ergebnis zu kommen.
Du mußt das, was Du in a) gerechent hast, jetzt rückärts auflösen.
Bevor ich mir jetzt die Finger wund tippe, verweise ich auf die Wikipedia, ich glaube, da steht es .
Wenn ich mich recht entsinne heißt der Algorithmus erweiterter Euklidischer Algorithmus. Wie gesagt benötigst Du die komplette Rechnung v. a).
Gruß v. Angela
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Hallo.
Also ich bin bei (b) echt am verzweifeln.
Ich habe mir jetzt folgendes überlegt: Setze q = q(x) und p = p(x).
q = [mm] (-7x^2 [/mm] + 6x + 1) * [mm] (-2x^3 [/mm] + 3) + (7x +1) [mm] \Rightarrow [/mm] 7x + 1 = q - [mm] ((-7x^2 [/mm] + 6x + 1) * (-2x + 3))
p = q * [mm] (2x^2 [/mm] + 1) + (- [mm] 7x^2 [/mm] + 6x + 1) [mm] \Rightarrow (-7x^2 [/mm] + 6x + 1) = p - (q * [mm] (x^2 [/mm] + 1))
[mm] \Rightarrow [/mm] 7x + 1 = q - ((p - (q * [mm] (2x^2 [/mm] + 1)) * (-2x + 3))
Durch ausrechnen erhalte ich nun
[mm] (-2x^2 [/mm] - 1)p + [mm] (4x^4 [/mm] + [mm] 4x^2 [/mm] + 2)q = 7x + 1
Ausmultiplizieren ergibt aber
[mm] 14*x^4 [/mm] + [mm] 2*x^3 [/mm] - [mm] 28*x^2 [/mm] + 17*x + 3 != 7x + 1
Wo liegt bei dieser Rechnung nun aber mein Fehler?
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Hallo,
meine Motivation, das alles nachzurechnen, ist extrem klein...
Mir erschließt sich der folgende Schritt aber nicht:
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ 7x + 1 = q - ((p - (q * $ [mm] (2x^2 [/mm] $ + 1)) * (-2x + 3))
> Durch ausrechnen erhalte ich nun
> [mm](-2x^2[/mm] - 1)p + [mm](4x^4[/mm] + [mm]4x^2[/mm] + 2)q = 7x + 1
Es ist doch
7x + 1 = q - ((p - (q * $ [mm] (2x^2 [/mm] $ + 1)) * (-2x + 3))
=q - p(-2x+3) + [mm] q(2x^2 [/mm] + 1)(-2x + 3),
ob da der Fehler lag, mögest Du überprüfen.
Gruß v. Angela
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Hallo.
Okay. Irgendwie war da bei mir der Wurm drin, aber das Ergebnis stimmt nach der Korrektur leider immer noch nicht.
Es gilt
7x + 1
= q - ((p - (q [mm] (2x^2 [/mm] + 1)) * (-2x + 3))
= q - p * (-2x + 3) + q * [mm] (2x^2 [/mm] + 1) * (-2x + 3)
= q + 2xp - 3p + [mm] q(-4x^3 [/mm] + [mm] 6x^2 [/mm] - 2x + 3)
= q + 2xp - 3p -4x^3q + 6x^2q + 2xq + 3q
= (2x - 3)p + [mm] (-4x^3 [/mm] + [mm] 6x^2 [/mm] + 2x + 4)q
Nun gilt aber
(2x - 3)p
= [mm] 56x^6 [/mm] - [mm] 132x^5 [/mm] + [mm] 120x^4 [/mm] - [mm] 66x^3 [/mm] + [mm] 58x^2 [/mm] + 10x - [mm] 84x^5 [/mm] + [mm] 198x^4 [/mm] - [mm] 180x^3 [/mm] + [mm] 99x^2 [/mm] - 87x - 15
= [mm] 56x^6 [/mm] - [mm] 216x^5 [/mm] + [mm] 318x^4 [/mm] - [mm] 246x^3 [/mm] + [mm] 157x^2 [/mm] - 77x - 15
und weiter
[mm] (-4x^3 [/mm] + [mm] 6x^2 [/mm] - 2x + [mm] 4)(14x^3 [/mm] - [mm] 33x^2 [/mm] + 23x + 4)
= [mm] -56x^6 [/mm] + [mm] 132x^5 [/mm] - [mm] 92x^4 [/mm] - [mm] 16x^3 [/mm] + [mm] 84x^5 [/mm] - [mm] 198x^4 [/mm] + [mm] 138x^3 [/mm] + [mm] 24x^2 [/mm] - [mm] 28x^4 [/mm] + [mm] 66x^3 [/mm] - [mm] 46x^2 [/mm] - 8x + [mm] 56x^3 [/mm] - [mm] 132x^2 [/mm] + 96x + 16
= [mm] -56x^6 [/mm] + [mm] 216x^5 [/mm] - [mm] 318x^4 [/mm] + [mm] 244x^3 [/mm] - [mm] 152x^2 [/mm] + 88x + 16
Also bleibt bei Addition übrig:
[mm] -2x^3 [/mm] + [mm] 5x^2 [/mm] + 11x + 1
Wo liegt den bloß der Fehler?!?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Mi 12.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Okay. Irgendwie war da bei mir der Wurm drin, aber das
> Ergebnis stimmt nach der Korrektur leider immer noch
> nicht.
Du hast ein paar Fehler in deiner Rechnung.
> Es gilt
> 7x + 1
> = q - ((p - (q [mm](2x^2[/mm] + 1)) * (-2x + 3))
> = q - p * (-2x + 3) + q * [mm](2x^2[/mm] + 1) * (-2x + 3)
> = q + 2xp - 3p + [mm]q(-4x^3[/mm] + [mm]6x^2[/mm] - 2x + 3)
> = q + 2xp - 3p -4x^3q + 6x^2q + 2xq + 3q
> = (2x - 3)p + [mm](-4x^3[/mm] + [mm]6x^2[/mm] + 2x + 4)q
Das Vorzeichen bei 2x ist falsch, baer da du weiter unten richtig weiterrechnest, ist es OK.
> Nun gilt aber
> [mm](2x - 3)p=56x^6 - 132x^5 + 120x^4 - 66x^3 + 58x^2 + 10x - 84x^5 + 198x^4 - 180x^3 + 99x^2 - 87x - 15[/mm]
Korrekt: [mm](2x - 3)p=56x^6 - 132x^5 + 120x^4 - \red{64}x^3 + 58x^2 + 10x - 84x^5 + 198x^4 - 180x^3 + \red{96}x^2 - 87x - 15[/mm]
= [mm]56x^6 - 216x^5 + 318x^4 - \red{244}x^3 + \red{154}x^2 - 77x - 15[/mm]
> und weiter
> [mm](-4x^3 + 6x^2 - 2x + 4)(14x^3 - 33x^2 + 23x + 4) [/mm]
[mm] = -56x^6 + 132x^5 - 92x^4 - 16x^3 + 84x^5 - 198x^4 + 138x^3 + 24x^2 - 28x^4 + 66x^3 - 46x^2 - 8x + 56x^3 - 132x^2 + \red{92}x + 16[/mm]
[mm] = -56x^6 + 216x^5 - 318x^4 + 244x^3 - \red{154}x^2 + \red{84}x + 16 [/mm]
Und schon passt's!
Viele Grüße
Rainer
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