Euklidischer Raum zeigen < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V ein euklidischer Raum mit dem Skalarprodukt [mm] \langle \\-,- \rangle. [/mm] Zeigen Sie:
Wenn W ein Untervektorraum von V ist, dann ist die Einschränkung von [mm] \langle \\-,- \rangle [/mm] auf W×W ein Skalarprodukt auf W, und mit diesem Skalarprodukt ist W selbst ein euklidischer Raum. |
Hallo und schönes Wochenende.
Ein euklidischer Raum ist bei uns laut Definition: Ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt heißt euklidischer Raum.
Das war im Prinzip alles, was über den euklidischen Raum erklärt wurde.
Informell könnte ich wie folgt argumentieren:
Wenn W ein Untervektorraum von V ( V ist offensichtlich endlichdimensional ) ist ( d.h W erfüllt die 3 Untervektorraumaxiome ), dann ist W wiederum ein ( endlichdimensionaler ) Vektorraum. W besitzt ein Skalarprodukt, also muss es ein euklidischer Raum sein.
Aber wie kann ich das zeigen?
Mit freundlichen Grüßen
Patrik
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Hallo,
Du hast einen Vektorraum V mit einem Skalarprodukt <,>_{V}. Man nehme einen Untervektorraum W und definiere die folgende Operation darauf:
W [mm] \times [/mm] W [mm] \to \IR, (w_{1},w_{2}) \mapsto _{V}. [/mm]
Zeige nun, dass diese Operation ein Skalarprodukt auf W definiert. Überprüfe also, dass diese Operation die Eigenschaften eines Skalarprodukts erfüllt (bilinear, positiv definit, symmetrisch).
Beachte dabei, dass nach Voraussetzung <,>_{V} ein Skalarprodukt auf V ist.
Hoffe, das hilft weiter.
Gruss,
GP
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