Euklidischer Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Di 13.07.2010 | | Autor: | lausch |
| Aufgabe 1 | Es sei [mm] P(\IR) [/mm] der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der Polynomfunktionen, und die Abbildung
[mm] \beta [/mm] : [mm] P(\IR) \times P(\IR)\to \IR [/mm] definiert durch
[mm] \beta(p,q)= \integral_{-1}^{1}{p(x)q(x) dx}
[/mm]
Zeigen sie, dass [mm] P(\IR) [/mm] mit der angegebenen Abbildung ein euklidischer Vektorraum ist |
| Aufgabe 2 | Es sei der Teilraum T von [mm] P(\IR) [/mm] durch die Basis ( [mm] f_{0}; f_{1}; f_{2}; f_{3}) [/mm] mit [mm] f_{i} [/mm] : x [mm] \mapsto x_{i} [/mm] gegeben.
Bestimmen Sie mit dem Gram-Schmidt’schen Orthogonalisierungsverfahren eine Orthogonalbasis
von T bezüglich des gegebenen Skalaproduktes. |
Hallo,
mir geht es zuerst einmal um Aufgabe 1.
Was habe ich zu zeigen?
Ich weiß nur, dass ein euklidischer Vektorraum einen Vektorraum mit einem Skalarprodukt darstellt.
Jedoch wurde in der Vorlesung nie ein Beispiel gegeben.
Kann mir jemand helfen? ;)
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Di 13.07.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
das integral stellt die Def. des skalarproduktes dar, also musst du zeigen, dass es eines ist. schreib einfach die Def. für Skalarprodukt auf, und zeig sie.
offensichtlich musst du nicht mehr zeigen, dass es Ein VR ist, sondern nur noch Skalarprodukt.
Wenn du die Def. nicht parat hast sieh in wiki nach.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Mi 14.07.2010 | | Autor: | lausch |
Okay danke.
Wäre das dann so richtig?
1) [mm] \beta(p,\lambda q_{1}+\mu q_{2})=\integral_{-1}^{1}{p(x)(\lambda q_{1}+\mu q_{2})(x) dx}=\lambda\integral_{-1}^{1}{p(x)q_{1}(x) dx}+\mu\integral_{-1}^{1}{p(x)q_{2}(x) dx}=\lambda\beta(p,q_{1})+\mu\beta(p,q_{2})
[/mm]
[mm] 2)\beta(p,q)=\integral_{-1}^{1}{p(x)q(x) dx}=\integral_{-1}^{1}{q(x)p(x) dx}=\beta(q,p)
[/mm]
[mm] 3)\beta(p,p)=\integral_{-1}^{1}{p(x)p(x) dx}=\integral_{-1}^{1}{p(x)^{2} dx} \Rightarrow \beta(p,p)> [/mm] 0
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Mi 14.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, es fehlt noch: [mm] \beta(p,p)=0 [/mm] folgt p=0
sonst richtig.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mi 14.07.2010 | | Autor: | lausch |
Super Danke ;)
Wie gehe ich denn bei der zweiten Aufgabe vor?
Wie das Gram-Schmidt-Verfahren funktioniert weiß ich, jedoch weiß ich nicht wie ich das hier mit dem Teilraum machen soll? Bzw. wie ich mit dem Teilraum umgehen soll.
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo
ich vermute mal bei dem T handelt es sich um den Teilraum aller Polynome vom Grad [mm] $\leq [/mm] 3 $. Du hast gegeben $T=< [mm] f_{0}, f_{1}, f_{2} f_{3}>$ [/mm] mit [mm] $f_{i}: [/mm] x [mm] \mapsto x^{i} [/mm] $ ( so wie du das geschrieben hast, verstehe ich sonst die Abbildung $f$ nicht), also [mm] $T=$ [/mm] Das das ein Unterraum ist, kann man mit dem Unterraumkriterium nachweisen und das die Menge [mm] $\{ 1,x,x^2,x^3 \}$ [/mm] eine Basis von T ist kann man zum Beispiel mit der Wronski-Determinate nachrechnen. Das braucht man alles, um Gram-Schmitt anwenden zu können.
Viel Vorgerede^^.
Ein Beispiel kannst du ![[]](/images/popup.gif) hier finden:
Stör dich nicht daran, das dort Vektoren des [mm] $\IR^{2}$ [/mm] orthogonalisiert werden und das dort das Standardskalarprodukt verwendet wird, das geht mit jedem Skalarprodukt genauso.
Viele Grüße (ist das warm^^)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Mi 14.07.2010 | | Autor: | lausch |
alles klar danke für die hilfe ;)
|
|
|
|
