Euklidisches Skalarprodukt < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Mi 09.05.2007 | | Autor: | Eckbert |
| Aufgabe | Sei G : I [mm] \to \IR [/mm] stetig und G(x) > 0 für alle x [mm] \in [/mm] I = [a,b] .
Man zeige:
<f,g> := [mm] \integral_{a}^{b}{G(x) f(x) g(x) dx} [/mm]
definiert auf dem Vektorraum C([a,b]) ein euklidisches Skalarprodukt. |
Ich muss also zeigen, dass < , > symmetrisch, bilinear und positiv definit ist. Mein Anfang würde so aussehen:
Zu zeigen: (Symmetrie) <f,g> = <g,f>
<f,g> = [mm] \integral_{a}^{b}{G(x) f(x) g(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{G(x) g(x) f(x) dx} [/mm] = <g,f>
Da f(x) und g(x) Elemente aus [mm] \IR [/mm] sind können sie aufgrund des Kommutativgesetzes, welches in [mm] \IR [/mm] gilt, einfach vertauscht werden.
Dass < , > auch bilinear und positiv definit ist, würde ich ähnlich zeigen. Ist mein Vorgehen korrekt? Oder darf ich f(x) und g(x) nicht so einfach vertauschen, da das Inegral von G(x)*f(x)*g(x) gemeint ist?
Ich habe angenommen G sei eine beliebige Funktion. Oder soll G die Stammfuntion von g sein? Was würde das an der Vorgehensweise änden?
Schönen Gruß
Eckbert
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Mi 09.05.2007 | | Autor: | wauwau |
vollkommen richtiger Weg, den du da eingeschlagen hast.
Positiv definit weil G>0 angenommen wurde!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 So 13.05.2007 | | Autor: | Thomas85 |
hallo habe auch nochmal eine frage zu der aufgabe
was wäre denn mit der positiven definitheit wenn g und f beide die 0 funktion sind, dann istd as integral doch = 0, oder nicht?
mfg thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 So 13.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
genau dann verschwindet das Integral.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 So 13.05.2007 | | Autor: | Thomas85 |
ehrlich gesagt nicht, wenn das integral hier 0 ist ist es doch nicht mehr positiv definit ?
mfg thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 So 13.05.2007 | | Autor: | vicky |
Hallo,
Positive Definitheit bedeutet du nimmst z.B. die Funktion f und prüfst:
<f,f> > 0 wenn f [mm] \not= [/mm] 0 d.h.
<f,f> = [mm] \integral_{a}^{b}{G(x)f(x)f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{G(x)f^2(x) dx} [/mm]
G(x) nach Vorausetzung >0 und das Quadrat liefert im reellen auch immer einen positiven Audruck, also ist <f,f> > 0 falls f nicht die Nullfunktion ist aber das ist nach Definition der Positiv Definitheit ausgeschlossen. Somit solltest du es eigentlich auch schon haben.
Gruß
vicky
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 So 13.05.2007 | | Autor: | Thomas85 |
ok danke,
ich steh heut aber auch auf dem schlauch.. 0 ist natürlich draußen :)
danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Di 22.04.2008 | | Autor: | zordon |
FATAAAAAL!
Das ist so nicht ganz richtig, auch Funktionen, die nicht die Nullfunktion sind könnten in dem Integral null werden z.B wenn sie nur an einem Punkt ungleich null sind. ( http://de.wikipedia.org/wiki/Nullmenge ) . Das darf aber für ein Skalarprodukt nicht sein. Damit das ein Skalarprodukt ist müssen die Funktionen G,f und g alle stetig sein! Dann muss man über den Beweis schon ein paar Minuten nachdenken.
Ausserdem muss b>a gelten.
Glaubt niemals einer Matheaufgabe deren Lösung trivial scheint. Meistens ist sie es gar nicht!
Da der Post schon etwas älter ist gabs für den armen Thomas hier sicher keine Punkte.
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