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Hallo,
ich beschäftige mich zurzeit mit der Euler-Lagrange-Gleichung der Variationsrechnung und hätte dazu eine Frage. Angenommen es wird die Funktion y(x) gesucht, die die folgende Funktion minimiert:
[mm] J(y)=\integral_{a}^{b}{F(x,y(x),y'(x)) dx}.
[/mm]
Die Lösung dieses Problems lässt sich bekannterweise durch das Lösen der Euler-Lagrange-Gleichung der Form
[mm] F_{y}(x,y(x),y'(x))-\frac{d}{dx}F_{y'}(x,y(x),y'(x))=0
[/mm]
berechnen. Der zweite Summand [mm] \frac{d}{dx}F_{y'}(x,y(x),y'(x)) [/mm] bedeutet meinem Verständnis nach, dass man zuerst F nach der dritten Komponente ableitet (und dann dort y(x) einsetzt) und danach die ganze Funktion [mm] F_{y'}(x,y(x),y'(x)) [/mm] nach x ableitet. Die Gültigkeit dieser Ableitung setzt voraus, dass [mm] y^{2}(x) [/mm] existiert.
Frage: warum wird im Satz von Euler-Lagrange (zb im Buch "Variationsrechnung" von Koelhöfer oder in "Höhere Mathematik" von Meyberg) die Existenz der zweiten Ableitung nicht gefordert? Dort wird von y nämlich nur gefordert, dass [mm] y\in C^{1}(a,b).
[/mm]
Würden wir von einem allgemeineren Fall ausgehen, nämlich der Minimierung der Funktion
[mm] J(y)=\integral_{a}^{b}{F(x,y(x),y'(x)\ldots,y^{n}(x)) dx},
[/mm]
so würde die Euler-Lagrange-Gleichung von der Form
[mm] \cfrac{\partial F}{\partial y} [/mm] - [mm] \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\cfrac{\partial F}{\partial y'}\right) [/mm] + [mm] \cfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}\left(\cfrac{\partial F}{\partial y''}\right) [/mm] - [mm] \dots +(-1)^n \cfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d} x^n}\left(\cfrac{\partial F}{\partial y^{(n)}}\right) [/mm] = 0
sein. Der Term [mm] \cfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d} x^n}\left(\cfrac{\partial F}{\partial y^{(n)}}\right) [/mm] setzt voraus, dass insbesondere [mm] \cfrac{\mathrm{d}^{n}y^{(n)}}{\mathrm{d} x^n}, [/mm] das heißt [mm] y^{(2n)} [/mm] existiert. Im Satz lese ich allerdings nichts von dieser Voraussetzung. Es wird nur [mm] y\in C^{n}(a,b) [/mm] Wäre das von y nicht zu viel verlangt? Oder habe ich vielleicht etwas übersehen oder missverstanden?
Grüße.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 Sa 28.09.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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