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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 So 22.04.2012 | | Autor: | gform |
Hallo zusammen,
ich hab heute etwas seltsames festgestellt. Wenn ich die Eulersche Identität etwas umstelle, komme ich auf folgendes:
[mm] e^{i*\pi} [/mm] = -1 = [mm] i^{2}
[/mm]
[mm] \gdw e^{\bruch{i*\pi}{2}} [/mm] = i
Da [mm] i^{6} [/mm] = [mm] i^{2} [/mm] ist, bin ich zu folgendem Schluss gekommen:
[mm] e^{i*\pi} [/mm] = [mm] i^{6}
[/mm]
[mm] \gdw e^{\bruch{i*\pi}{6}} [/mm] = i
Da durch Gleichsetzung eine unsinnige Gleichung entstehen würde
[mm] \bruch{i*\pi}{2} [/mm] = [mm] \bruch{i*\pi}{6}
[/mm]
[mm] \gdw i*\pi [/mm] = [mm] 3*i*\pi
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 = 3
habe ich [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] als [mm] \varphi [/mm] in die Eulerformel eingesetzt:
[mm] \varphi [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{6} \Rightarrow e^{i*\bruch{\pi}{6}} [/mm] = [mm] cos(\bruch{\pi}{6}) [/mm] + [mm] i*sin(\bruch{\pi}{6})
[/mm]
[mm] \gdw e^{i*\bruch{\pi}{6}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(\wurzel{3} [/mm] + i)
Wie kommt es aber, dass ich oben auf
[mm] e^{\bruch{i*\pi}{6}} [/mm] = i
gekommen bin?
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 So 22.04.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo gform,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich hab heute etwas seltsames festgestellt. Wenn ich die
> Eulersche Identität etwas umstelle, komme ich auf
> folgendes:
>
> [mm]e^{i*\pi}[/mm] = -1 = [mm]i^{2}[/mm]
> [mm]\red{\gdw} e^{\bruch{i*\pi}{2}}[/mm] = i
>
> Da [mm]i^{6}[/mm] = [mm]i^{2}[/mm] ist, bin ich zu folgendem Schluss
> gekommen:
>
> [mm]e^{i*\pi}[/mm] = [mm]i^{6}[/mm]
> [mm]\red{\gdw} e^{\bruch{i*\pi}{6}}[/mm] = i
Die rot markierten Äquivalenzzeichen sind an beiden Stellen falsch gesetzt.
Du ziehst dort ja jeweils eine Wurzel, das Wurzelziehen über den komplexen Zahlen liefert aber eine Menge von Lösungen. Bei der sechsten Wurzel mache ich es mal vor:
[mm] $\mathrm{e}^{\mathrm{i}*\pi}= \mathrm{i}^{6}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\sqrt[6]{\mathrm{e}^{\mathrm{i}*\pi}}= \sqrt[6]{\mathrm{i}^{6}}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\{\mathrm{e}^{\mathrm{i}*\bruch{\pi+2\cdot k\cdot \pi}{6}}\ |\ k=0,\ldots,5\} [/mm] = [mm] \sqrt[6]{\mathrm{i}^6}$
[/mm]
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen natürlich auch 6 Lösungen, von denen eine [mm] $\mathrm{i}$ [/mm] ist:
[mm] $\gdw$ $\{\red{\mathrm{e}^{\mathrm{i}*\bruch{\pi+2\cdot 0\cdot \pi}{6}}},\green{\mathrm{e}^{\mathrm{i}*\bruch{\pi+2\cdot 1\cdot \pi}{6}}},\mathrm{e}^{\mathrm{i}*\bruch{\pi+2\cdot 2\cdot \pi}{6}},\mathrm{e}^{\mathrm{i}*\bruch{\pi+2\cdot 3\cdot \pi}{6}},\mathrm{e}^{\mathrm{i}*\bruch{\pi+2\cdot 4\cdot \pi}{6}},\mathrm{e}^{\mathrm{i}*\bruch{\pi+2\cdot 5\cdot \pi}{6}}\} [/mm] = [mm] \{\red{\cdots},\green{\mathrm{i}},\cdots,\cdots,\cdots,\cdots\}$
[/mm]
Du siehst also, dass die Lösungsmengen zwar gleich sind, aber doch nicht zwei beliebig aus den Mengen herausgegriffene Elemente:
[mm] $\red{\mathrm{e}^{\mathrm{i}*\bruch{\pi}{6}}}\not=\green{\mathrm{i}}$
[/mm]
Viele Grüße
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 So 29.04.2012 | | Autor: | gform |
Das hat mich weitergebracht, dankeschön!
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