Eulersche Zahl < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Di 19.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Es seien [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] , [mm] (b_{n})_{n \in \IN} [/mm] 2 Folgen mit [mm] a_{n}:= [/mm] (1+ [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] und [mm] b_{n}:= \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}.
[/mm]
Zeige, dass die Grenzwerte beider Folgen überein stimmen. |
Hallo,
dass die beiden Folgen konvergent sind, konnte bereits gezeigt werden und kann somit verwendet werden.
(1+ [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}\bruch{1}{n^k} [/mm] (nach Binomischem Lehrsatz)
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\bruch{n!}{(n-k)!k!}\bruch{1}{n^k}
[/mm]
Wenn ich nun zeigen könnte, dass [mm] \bruch{n!}{(n-k)!n^k} [/mm] =1 ist, würd das ganze passen. Doch offensichtlich ist es leider nicht so einfach: Für n=3 und k=2 ist [mm] \bruch{3!}{(3-2)!3^2}= \bruch{2}{3}...
[/mm]
Ich komm hier leider überhaupt nicht weiter.
Wäre für jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Di 19.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
[mm] http://www2.imng.uni-stuttgart.de/LstNumGeoMod/VHM/Vorlesungen/Analysis1/Folien_Die_Eulersche_Zahl_e_als_Grenzwert_einer_Folge_und_einer_Reihe.pdf
[/mm]
FRED
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