Exakte DGL, integr. Fakt. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Finden Sie die Lösungen der folgenden DGL
1) [mm] \bruch{1}{y}+x-\bruch{x}{y^2}*y'=0, [/mm] y(1)=2, y [mm] \not=0
[/mm]
2) (x + y)dx − (y − x)dy = 0
3) [mm] xy^2 [/mm] − [mm] y^3 [/mm] + (1 − [mm] xy^2)y' [/mm] = 0, y(0) = 1
[mm] 4)(x^2 [/mm] − x^3y)y' − [mm] x^2y^2 [/mm] + 2xy = 0
(Hinweis: Prüfen Sie auf Exaktheit und bestimmen Sie gegebenenfalls einen integrierenden Faktor.) |
Hallo,
also ich weiß schonmal, dass für exakt gelten muss [mm] g_y=h_x [/mm] wobei [mm] g=F_x(x,y) [/mm] und [mm] h=F_y(x,y). [/mm] Sonst muss man mit einem integrierenden Faktor erweitern, damit die Ableitung identisch sind. Das erte Problem, dass sich für ich stellt ist, wie bestimmt man den integrierenden Faktor, dazu habe ich nichts gefunden und für mich wirkt das so ein bisschen wie "raten und gucken ob es klappt"...
Danach kann man ja das (Linien)integral bestimmen, allerdings weiß ich nicht wie ich das machen soll, wenn ich keinen Anfangswert (a,b) gegeben habe, denn dann wird das Integral ja total allgemein...
Also hier mal mein konkretes Problem:
zu2)
(x+y)dx-(y-x)dy=0
=>(x+y)dx(x-y)dy=0, mit g=(x+y), h=(x-y)
[mm] =>g_y=1=h_x, [/mm] also exakte DGL
=> [mm] F(\overline{x},\overline{y})=\integral_{a,b}^{\overline{x},\overline{y}}{[g(x,y,)dx+h(x,y,)dy]}
[/mm]
Wie kann ich jetzt das Integral ausrechnen, oder wird das dann einfach ein sehr allgemeine Form haben...
Vielleicht kann mir jemand einen Link geben, wo so eine Aufgabe beispielhaft gelöst wird und am besten noch, wie man den integrierenden Faktor eienr nicht exakten DGL bestimmt.
DANKE
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Hallo Peon,
> Finden Sie die Lösungen der folgenden DGL
> 1) [mm]\bruch{1}{y}+x-\bruch{x}{y^2}*y'=0,[/mm] y(1)=2, y [mm]\not=0[/mm]
> 2) (x + y)dx − (y − x)dy = 0
> 3) [mm]xy^2[/mm] − [mm]y^3[/mm] + (1 − [mm]xy^2)y'[/mm] = 0, y(0) = 1
> [mm]4)(x^2[/mm] − x^3y)y' − [mm]x^2y^2[/mm] + 2xy = 0
> (Hinweis: Prüfen Sie auf Exaktheit und bestimmen Sie
> gegebenenfalls einen integrierenden Faktor.)
> Hallo,
>
> also ich weiß schonmal, dass für exakt gelten muss
> [mm]g_y=h_x[/mm] wobei [mm]g=F_x(x,y)[/mm] und [mm]h=F_y(x,y).[/mm] Sonst muss man mit
> einem integrierenden Faktor erweitern, damit die Ableitung
> identisch sind. Das erte Problem, dass sich für ich stellt
> ist, wie bestimmt man den integrierenden Faktor, dazu habe
> ich nichts gefunden und für mich wirkt das so ein bisschen
> wie "raten und gucken ob es klappt"...
> Danach kann man ja das (Linien)integral bestimmen,
> allerdings weiß ich nicht wie ich das machen soll, wenn
> ich keinen Anfangswert (a,b) gegeben habe, denn dann wird
> das Integral ja total allgemein...
> Also hier mal mein konkretes Problem:
>
> zu2)
> (x+y)dx-(y-x)dy=0
> =>(x+y)dx(x-y)dy=0, mit g=(x+y), h=(x-y)
> [mm]=>g_y=1=h_x,[/mm] also exakte DGL
>
> =>
> [mm]F(\overline{x},\overline{y})=\integral_{a,b}^{\overline{x},\overline{y}}{[g(x,y,)dx+h(x,y,)dy]}[/mm]
>
> Wie kann ich jetzt das Integral ausrechnen, oder wird das
> dann einfach ein sehr allgemeine Form haben...
Wir haben
[mm]F_{x}=x+y \Rightarrow F=\integral_{}^{}{F_{x} \ dx} +\varphi\left(y\right)[/mm]
Differenzieren wir jetzt nach y, so ergibt sich:
[mm]F_{y}=x-y=\integral_{}^{}{F_{xy} \ dx} +\varphi_{y}\left(y\right)[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm]\varphi\left(y\right)=F_{y}-\integral_{}^{}{F_{xy} \ dx}[/mm]
Damit wird
[mm]\varphi\left(y\right)=\integral_{}^{}{\left(F_{y}-\integral_{}^{}{F_{xy} \ dx} \right) \ dy} +C[/mm]
Dann ist
[mm]F=\integral_{}^{}{F_{x} \ dx} +\integral_{}^{}{\left(F_{y}-\integral_{}^{}{F_{xy} \ dx} \right) \ dy} +C[/mm]
Setzen wir [mm]g=F_{x}, \ h=F_{y}[/mm] so ergibt sich:
[mm]F=\integral_{}^{}{g \ dx} +\integral_{}^{}{\left(h}-\integral_{}^{}{g_{y} \ dx} \right) \ dy} +C[/mm]
Das ist dann die Stammfunktion zu einer exakten DGL.
>
> Vielleicht kann mir jemand einen Link geben, wo so eine
> Aufgabe beispielhaft gelöst wird und am besten noch, wie
> man den integrierenden Faktor eienr nicht exakten DGL
> bestimmt.
>
> DANKE
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Peon |
Hey danke,
ich glaube in der Zeile nach Differentiation nach y hast du den Index y beim [mm] \phi(y) [/mm] vergessen, nur für die Leute, die das noch lesen.
Ich habe es jetzt so gerechnet:
[mm] F_x=x+y
[/mm]
[mm] =>F=\integral_{}^{}{F_xdx+\phi(y)}=\bruch{1}{2}x^2+xy+\phi(y)
[/mm]
[mm] =>F_y=x+\phi_y(y)
[/mm]
[mm] =>\phi_y(y)=F_y-x, [/mm] mit [mm] F_y=x-y
[/mm]
[mm] =>\phi_y(y)=x-y-x=-y
[/mm]
[mm] =>\phi(y)=-\integral_{}^{}{ydy}=-\bruch{1}{2}y^2+c
[/mm]
[mm] =>F(x,y)=\bruch{1}{2}x^2+xy-\bruch{1}{2}y^2+c
[/mm]
So das müsste stimmen, oder?
Habe mich nun an die 1) gemacht:
[mm] \bruch{1}{y}+x-\bruch{x}{y^2}*y'=0
[/mm]
[mm] =>(y+xy^2)dx-xdy=0
[/mm]
Hier sieht man, dass die DGL nicht exakt ist, aber wie berechne ich nun den integr. Fakt. ich sehe nicht wie das gehen soll. Werde aus dem Skript auch nicht schlau. Da steht nur:
...
[mm] <=>M_yg+Mg_y=M_xh+Mh_x [/mm] aber was mir das bringt weiß ich nicht, hast du da eine Hilfe?
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Hallo Peon,
-> Hey danke,
>
> ich glaube in der Zeile nach Differentiation nach y hast du
> den Index y beim [mm]\phi(y)[/mm] vergessen, nur für die Leute, die
> das noch lesen.
Danke für den Hinweis. Und zwar an dieser Stelle:
"
Daraus ergibt sich:
[mm]\varphi_{\blue{y}}\left(y\right)=F_{y}-\integral_{}^{}{F_{xy} \ dx} [/mm]
"
>
> Ich habe es jetzt so gerechnet:
> [mm]F_x=x+y[/mm]
>
> [mm]=>F=\integral_{}^{}{F_xdx+\phi(y)}=\bruch{1}{2}x^2+xy+\phi(y)[/mm]
> [mm]=>F_y=x+\phi_y(y)[/mm]
> [mm]=>\phi_y(y)=F_y-x,[/mm] mit [mm]F_y=x-y[/mm]
> [mm]=>\phi_y(y)=x-y-x=-y[/mm]
> [mm]=>\phi(y)=-\integral_{}^{}{ydy}=-\bruch{1}{2}y^2+c[/mm]
> [mm]=>F(x,y)=\bruch{1}{2}x^2+xy-\bruch{1}{2}y^2+c[/mm]
>
> So das müsste stimmen, oder?
Ja, das stimmt auch.
>
> Habe mich nun an die 1) gemacht:
> [mm]\bruch{1}{y}+x-\bruch{x}{y^2}*y'=0[/mm]
> [mm]=>(y+xy^2)dx-xdy=0[/mm]
Lass die mal so wie oben stehen:
[mm]\bruch{1}{y}+x-\bruch{x}{y^2}*y'=0[/mm]
Daraus ergibt sich dann:
[mm]\left(\bruch{1}{y}+x\right) \ dx -\bruch{x}{y^2} \ dy=0[/mm]
Und jetzt kannst Du prüfen ob diese DGL exakt ist.
> Hier sieht man, dass die DGL nicht exakt ist, aber wie
> berechne ich nun den integr. Fakt. ich sehe nicht wie das
> gehen soll. Werde aus dem Skript auch nicht schlau. Da
> steht nur:
> ...
> [mm]<=>M_yg+Mg_y=M_xh+Mh_x[/mm] aber was mir das bringt weiß ich
> nicht, hast du da eine Hilfe?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Do 09.12.2010 | | Autor: | Peon |
Weiß jetzt wie es geht, poste evtl. bei Gelegenheit meine Ergebnisse.
DANKE
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Sa 11.12.2010 | | Autor: | Omega82 |
Hallo Peon,
habe die gleichen Aufgaben zu bearbeiten.
Hast du für die 1. Aufgabe auch als Stammfunktion:
[mm] F(x,y)=\bruch{x}{y}+\bruch{1}{2}x^2+c_1 [/mm] ?
Für die zweite Dgl. habe ich das gleiche Ergebnis.
Grüße,O
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hallo zusammen
bearbeite auch grade die erste aufgabe...
[mm] \left(\bruch{1}{y}+x\right) [/mm] dx [mm] -\bruch{x}{y^2} [/mm] dy=0
dann ist g(x,y)= [mm] \left(\bruch{1}{y}+x\right)
[/mm]
h(x,y)= [mm] -\bruch{x}{y^2} =-xy^{-2}
[/mm]
[mm] g_y=-\bruch{1}{y^2}
[/mm]
[mm] h_x= y^{-2}
[/mm]
da
[mm] g_y= -\bruch{1}{y^2}= -\bruch{1}{y^2} =h_x
[/mm]
also ist die dgl exakt
ist das soweit richtig?
gruß,
kekschen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 So 12.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> hallo zusammen
> bearbeite auch grade die erste aufgabe...
>
> [mm]\left(\bruch{1}{y}+x\right)[/mm] dx [mm]-\bruch{x}{y^2}[/mm] dy=0
> dann ist g(x,y)= [mm]\left(\bruch{1}{y}+x\right)[/mm]
> h(x,y)= [mm]-\bruch{x}{y^2} =-xy^{-2}[/mm]
>
> [mm]g_y=-\bruch{1}{y^2}[/mm]
> [mm]h_x= y^{-2}[/mm]
Es ist [mm]h_x= -y^{-2}[/mm]
> da
> [mm]g_y= -\bruch{1}{y^2}= -\bruch{1}{y^2} =h_x[/mm]
> also ist die
> dgl exakt
>
> ist das soweit richtig?
Ja
FRED
>
>
> gruß,
> kekschen
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okay danke..
also ist die DGL exakt...
jetzt hab ich das so gemacht wie Mathepower das auch schon bei aufgabenteil 2 gemacht hat...
hier ist
[mm] F_x= \bruch{1}{y}+x [/mm] => F= [mm] \integral_{}^{}{F_x dx} +\phi(y)
[/mm]
da g= [mm] F_x [/mm] folgt
F= [mm] \integral_{}^{}{g dx} +\phi(y) [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{(\bruch{1}{y}+x) dx} +\phi(y) [/mm] = [mm] \bruch{x}{y}+ \bruch{1}{2}x^2 [/mm] + [mm] \phi(y)
[/mm]
[mm] F_y= \bruch{-x}{y^2}= \integral_{}^{}{F_{xy}dx} \phi_y(y)
[/mm]
[mm] =>\phi_y(y)= F_y -\integral_{}^{}{F_{xy}dx}
[/mm]
[mm] F_y=h=bruch{-x}{y^2}
[/mm]
aber woher weiß ich was [mm] \integral_{}^{}{F_{xy}dx} [/mm] bzw [mm] F_{xy} [/mm] ist?
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Hallo Kampfkekschen,
> okay danke..
> also ist die DGL exakt...
>
> jetzt hab ich das so gemacht wie Mathepower das auch schon
> bei aufgabenteil 2 gemacht hat...
> hier ist
> [mm]F_x= \bruch{1}{y}+x[/mm] => F= [mm]\integral_{}^{}{F_x dx} +\phi(y)[/mm]
>
> da g= [mm]F_x[/mm] folgt
> F= [mm]\integral_{}^{}{g dx} +\phi(y)[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{(\bruch{1}{y}+x) dx} +\phi(y)[/mm] =
> [mm]\bruch{x}{y}+ \bruch{1}{2}x^2[/mm] + [mm]\phi(y)[/mm]
Jetzt musst Du das so erhaltene F nach y differenzieren
und mit [mm]-\bruch{x}{y^{2}[/mm] vergleichen.
>
> [mm]F_y= \bruch{-x}{y^2}= \integral_{}^{}{F_{xy}dx} \phi_y(y)[/mm]
>
> [mm]=>\phi_y(y)= F_y -\integral_{}^{}{F_{xy}dx}[/mm]
>
> [mm]F_y=h=bruch{-x}{y^2}[/mm]
> aber woher weiß ich was [mm]\integral_{}^{}{F_{xy}dx}[/mm] bzw
> [mm]F_{xy}[/mm] ist?
Das weisst Du aus der Bedingung für eine exakte DGL.
Gruss
MathePower
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danke schonmal für die antwort...
hab jetzt also mein F= [mm] \bruch{x}{y}+ \bruch{1}{2}x^2+\phi(y)
[/mm]
nach y differenziert
[mm] =>F_y=\bruch{-x}{y}+\phi_y(y)
[/mm]
[mm] =>\phi_y(y) =F_y [/mm] + [mm] \bruch{x}{y} [/mm] mit [mm] F_y=\bruch{-x}{y}
[/mm]
=> [mm] \phi_y(y)=0
[/mm]
F(x,y)= [mm] \bruch{x}{y}+ \bruch{1}{2}x^2
[/mm]
stimmt das so?
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Das habe ich auch raus. Wenn ich jetzt den AW y(1) = 2 einsetze
bekomme ich c = 1 raus. Und wenn ich das dann nach y auflöse habe ich
y = [mm] \bruch{x}{1-0,5*x^{2}}
[/mm]
stimmt das so?
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Hallo Teufelchen6,
> Das habe ich auch raus. Wenn ich jetzt den AW y(1) = 2
> einsetze
>
> bekomme ich c = 1 raus. Und wenn ich das dann nach y
> auflöse habe ich
>
> y = [mm]\bruch{x}{1-0,5*x^{2}}[/mm]
>
> stimmt das so?
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Hallo Kampfkekschen,
> danke schonmal für die antwort...
> hab jetzt also mein F= [mm]\bruch{x}{y}+ \bruch{1}{2}x^2+\phi(y)[/mm]
>
> nach y differenziert
> [mm]=>F_y=\bruch{-x}{y}+\phi_y(y)[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]=>F_y=\bruch{-x}{y^{\blue{2}}}+\phi_y(y)[/mm]
> [mm]=>\phi_y(y) =F_y[/mm] + [mm]\bruch{x}{y}[/mm] mit [mm]F_y=\bruch{-x}{y}[/mm]
Ebenso hier:
[mm]F_y=\bruch{-x}{y^{\blue{2}}}[/mm]
> => [mm]\phi_y(y)=0[/mm]
>
> F(x,y)= [mm]\bruch{x}{y}+ \bruch{1}{2}x^2[/mm]
>
> stimmt das so?
Mit den angebrachten Korrekturen stimmt das so.
Gruss
MathePower
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Hallo,
ich bearbeite gerade Aufgabe 4 und habe Probleme damit, den integrierenden Faktor [mm] \mu [/mm] zu bestimmen. Genauer gesagt kriege ich nicht heraus, in welcher Abhängigkeit [mm] \mu [/mm] steht.
Die 4. Dgl ist ja keine exakte. Nun habe ich durch Rechnung (die hoffentlich richtig ist) rausbekommen, dass sich [mm] \mu [/mm] weder als [mm] \mu(x) [/mm] noch als [mm] \mu(y) [/mm] darstellen lässt. Ich bin mir nicht sicher, ob sich [mm] \mu [/mm] als [mm] \mu(xy) [/mm] schreiben lässt.
Das ist meine Rechnung:
[mm] \underbrace{(2xy-x^2y^2)}_{=P}dx [/mm] + [mm] \underbrace{(x^2-x^3y)}_{=Q}dy [/mm] = 0
[mm]P_y = 2x-2x^2 y \not= 2x-3x^2 y = Q_x[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Dgl ist nicht exakt
Ist [mm] \mu [/mm] abhängig von y?
[mm] w_y [/mm] := [mm] \bruch{Q_x - P_y}{P} [/mm] = [mm] \bruch{2x-3x^2 y-2x+2x^2y}{2xy-x^2y^2} [/mm] = [mm] \bruch{-x^2 y}{2xy-x^2y^2}
[/mm]
x lässt sich hier nicht wegkürzen.
Ist [mm] \mu [/mm] abhängig von x?
[mm] w_x [/mm] := [mm] \bruch{Q_x - P_y}{Q} [/mm] = [mm] \bruch{-x^2 y}{x^2-x^3 y}
[/mm]
y lässt sich nicht wegkürzen.
Ist [mm] \mu [/mm] abhängig von xy?
[mm](\mu P)_y = (\mu Q)_x
\mu_y P + \mu P_y = \mu_x Q + \mu Q_x
\mu' x(2xy-x^2y^2) + \mu (2x-2x^2 y) = \mu' y(x^2-x^3 y)+\mu (2x-3x^2y)
\mu' (2x^2 y-x^3y^2-x^2 y+x^3y^2) = \mu (2x-3x^2 y -2x+2x^2 y)
\mu' (x^2y) = \mu (-x^2 y)[/mm]
Ist das bis hierhin richtig? Wenn ja, wie mache ich weiter?
Gruß, Gratwanderer
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Hallo Gratwanderer,
> Hallo,
>
> ich bearbeite gerade Aufgabe 4 und habe Probleme damit, den
> integrierenden Faktor [mm]\mu[/mm] zu bestimmen. Genauer gesagt
> kriege ich nicht heraus, in welcher Abhängigkeit [mm]\mu[/mm]
> steht.
>
> Die 4. Dgl ist ja keine exakte. Nun habe ich durch Rechnung
> (die hoffentlich richtig ist) rausbekommen, dass sich [mm]\mu[/mm]
> weder als [mm]\mu(x)[/mm] noch als [mm]\mu(y)[/mm] darstellen lässt. Ich bin
> mir nicht sicher, ob sich [mm]\mu[/mm] als [mm]\mu(xy)[/mm] schreiben
> lässt.
>
> Das ist meine Rechnung:
>
> [mm]\underbrace{(2xy-x^2y^2)}_{=P}dx[/mm] +
> [mm]\underbrace{(x^2-x^3y)}_{=Q}dy[/mm] = 0
>
> [mm]P_y = 2x-2x^2 y \not= 2x-3x^2 y = Q_x[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Dgl ist nicht exakt
>
> Ist [mm]\mu[/mm] abhängig von y?
>
> [mm]w_y[/mm] := [mm]\bruch{Q_x - P_y}{P}[/mm] = [mm]\bruch{2x-3x^2 y-2x+2x^2y}{2xy-x^2y^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{-x^2 y}{2xy-x^2y^2}[/mm]
>
> x lässt sich hier nicht wegkürzen.
>
> Ist [mm]\mu[/mm] abhängig von x?
>
> [mm]w_x[/mm] := [mm]\bruch{Q_x - P_y}{Q}[/mm] = [mm]\bruch{-x^2 y}{x^2-x^3 y}[/mm]
>
> y lässt sich nicht wegkürzen.
>
> Ist [mm]\mu[/mm] abhängig von xy?
>
> [mm](\mu P)_y = (\mu Q)_x
\mu_y P + \mu P_y = \mu_x Q + \mu Q_x
\mu' x(2xy-x^2y^2) + \mu (2x-2x^2 y) = \mu' y(x^2-x^3 y)+\mu (2x-3x^2y)
\mu' (2x^2 y-x^3y^2-x^2 y+x^3y^2) = \mu (2x-3x^2 y -2x+2x^2 y)
\mu' (x^2y) = \mu (-x^2 y)[/mm]
>
> Ist das bis hierhin richtig? Wenn ja, wie mache ich
> weiter?
Das ist bis hierhin richtig.
Und jetzt kannst Du das umschreiben zu:
[mm]\left(\mu'+\mu\right) (x^2y) =0[/mm]
Nun [mm]\mu[/mm] ist eine Funktion von [mm]u\left(x,y\right)=x*y[/mm]
Löse demnach die DGL
[mm]\bruch{d \mu}{du}+\mu=0[/mm]
>
> Gruß, Gratwanderer
Gruss
MathePower
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Vielen Dank für deine Antwort Mathepower!
> Löse demnach die DGL
>
> [mm]\bruch{d \mu}{du}+\mu=0[/mm]
>
die Dgl besitzt die Lösung [mm]\mu (u) = c e^{-u}[/mm] und da [mm]u(x,y) = xy[/mm] folgt, dass [mm]\mu (xy) = c e^{-xy}[/mm] der integrierende Faktor ist.
Die Lösung wäre dann [mm] F(x,y) = x^2 y e^{-xy} + C. (C \in \IR)[/mm]
Ist das so richtig?
Gruß, Gratwanderer
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Hallo Gratwanderer,
> Vielen Dank für deine Antwort Mathepower!
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> > Löse demnach die DGL
> >
> > [mm]\bruch{d \mu}{du}+\mu=0[/mm]
> >
>
> die Dgl besitzt die Lösung [mm]\mu (u) = c e^{-u}[/mm] und da
> [mm]u(x,y) = xy[/mm] folgt, dass [mm]\mu (xy) = c e^{-xy}[/mm] der
> integrierende Faktor ist.
>
> Die Lösung wäre dann [mm]F(x,y) = x^2 y e^{-xy} + C. (C \in \IR)[/mm]
>
> Ist das so richtig?
>
Ja.
> Gruß, Gratwanderer
Gruss
MathePower
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