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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Exakte Dgl lösen
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Exakte Dgl lösen: Fehlersuche
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 So 17.02.2013
Autor: Studiiiii

Aufgabe
[]http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aufgabe/aufgabe667/

In dem obigen Link aufgabe b):

Wir haben die Dgl exakt gemacht mit m = [mm] x^{-2} [/mm]

Aber beim Potential bestimmen kommt ein nur von x abh. Potential raus, und damit können wir nun nciht die Lösung y bestimmen.

Kann uns jemand evtl. helfen?

bei uns ist immer:

Potential(x,y) = x


        
Bezug
Exakte Dgl lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 So 17.02.2013
Autor: notinX

Hallo,

>
> []http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aufgabe/aufgabe667/
>  In dem obigen Link aufgabe b):
>  
> Wir haben die Dgl exakt gemacht mit m = [mm]x^{-2}[/mm]

was soll m sein?

>  
> Aber beim Potential bestimmen kommt ein nur von x abh.
> Potential raus, und damit können wir nun nciht die Lösung
> y bestimmen.
>  
> Kann uns jemand evtl. helfen?

Zeig mal Deine Rechnung.

>  
> bei uns ist immer:
>  
> Potential(x,y) = x
>  

Nach meiner Rechnung ist die DGL nicht exakt und es lässt sich auch kein integrierender Fatktor finden. Aber zeig mal Deine Rechnung, vielleicht habe ich was übersehen.

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Exakte Dgl lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:46 So 17.02.2013
Autor: schachuzipus

Hi notinX,


> Hallo,
>  
> >
> >
> []http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aufgabe/aufgabe667/
>  >  In dem obigen Link aufgabe b):
>  >  
> > Wir haben die Dgl exakt gemacht mit m = [mm]x^{-2}[/mm]
>  
> was soll m sein?

Der eulersche Multiplikator [mm] $\mu(x,y)=x^{-2}$ [/mm]

>  
> >  

> > Aber beim Potential bestimmen kommt ein nur von x abh.
> > Potential raus, und damit können wir nun nciht die Lösung
> > y bestimmen.
>  >  
> > Kann uns jemand evtl. helfen?
>  
> Zeig mal Deine Rechnung.
>
> >  

> > bei uns ist immer:
>  >  
> > Potential(x,y) = x
>  >  
>
> Nach meiner Rechnung ist die DGL nicht exakt und es lässt
> sich auch kein integrierender Fatktor finden. Aber zeig mal
> Deine Rechnung, vielleicht habe ich was übersehen.

Nach Mult. mit [mm] $\mu(x,y)=x^{-2}$ [/mm] ist sie aber doch exakt ...

>  
> Gruß,
>  
> notinX

Gruß

schachuzipus


Bezug
        
Bezug
Exakte Dgl lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 So 17.02.2013
Autor: schachuzipus

Hallo,


>
> []http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aufgabe/aufgabe667/
>  In dem obigen Link aufgabe b):

Wieso tippst du diese winzig kurze Aufgabe nicht hier ein?

So kann man nix dran schreiben, und du überträgst die Arbeit des Eintippens auf die Antwortgeber. Nicht besondes nett!

>  
> Wir haben die Dgl exakt gemacht mit m = [mm]x^{-2}[/mm]
>  
> Aber beim Potential bestimmen kommt ein nur von x abh.
> Potential raus, und damit können wir nun nciht die Lösung
> y bestimmen.
>  
> Kann uns jemand evtl. helfen?
>  
> bei uns ist immer:
>  
> Potential(x,y) = x

Nach diesem Schema:

http://www.das-gelbe-rechenbuch.de/download/ExakteDgl.pdf

könnt ihr direkt sehen, dass [mm]F(x,y)=x+\frac{y}{x}[/mm] eine Stammfunktion ist, Probe: [mm]F_x(x,y)=1-\frac{y}{x^2}[/mm] und [mm]F_y(x,y)=\frac{1}{x}[/mm]

Die Gesamtheit der Lösungen ergibt sich aus [mm]F(x,y)=C[/mm] durch Auflösen nach y

Probe mit [mm]\frac{1}{\mu(x,y)}=0[/mm] nicht vergessen!


Gruß

schachuzipus



Bezug
                
Bezug
Exakte Dgl lösen: Fehlersuche geht weiter
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:00 Di 19.02.2013
Autor: Studiiiii

Hallöchen, ich bin wieder da.
War etwas in Zeitnot, aber jetzt tippe ich nochmal die gesamte Rechnung ein:

Zu Lösen ist also das AWP:
[mm](x^2 -y)+xy'= 0[/mm]

Den Eulerschen Multiplikator habe ich bereits ermittelt [mm]m = x^{-2} [/mm]
Man benötigt ihn, damit die Dgl exakt ist.
Erhalte also:
[mm]1-\bruch{y}{x^2} + \bruch{1}{x} y' = 0[/mm]
definiere:
[mm] f_1 (x,y) = 1-\bruch{y}{x^2} , f_2 (x,y) = \bruch{1}{x} [/mm]

Mit aus meiner Vorlesung bekannten Regeln bestimme nun das Integral:
[mm]\phi (x,y) = \int_{0}^1 f(\begin{pmatrix} tx \\ ty \end{pmatrix}).(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) dt [/mm]

[mm] = \int_{0}^1 (\begin{pmatrix} 1-\bruch{y}{tx^2} \\\bruch{1}{tx} \end{pmatrix}).(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) dt [/mm]

[mm]= \int_{0}^1 x-\bruch{y}{tx}+\bruch{y}{tx} dt[/mm]

[mm] = \int_{0}^1 x dt = x[/mm]

Nun ist dieses aber nicht mehr von y abhängig, also kann man es demnach auch nicht nach y auflösen. Wo ist unser Denkfehler?
bzw. kann man diese Variante zum bestimmen des Potentials nicht anwenden?

Bezug
                        
Bezug
Exakte Dgl lösen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Do 21.02.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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