Existenz von DGl 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige, dass folgendes Randwertproblem mindestens eine Lösung hat
u(t)''=cos(u(t))(u(t)-1) [mm] t\in(-1,1)
[/mm]
u(-1)=u(1)=0 |
Hallo, ich weiß nicht ob ich mit dem Lösungsweg den richtigen Weg gegangen bin..
Ich habe zuerst versucht u(t)' zu bestimmen:
Dazu der Ansatz: V(u(t))=u(t)' (Kurve aus dem Phasenraum als Funktion von u dargestellt)
[mm] \Rightarrow [/mm] u(t)''= V(u(t))'*u(t)'
[mm] \Rightarrow [/mm] u(t)''= V(u(t))' V(u(t)) (wegen V(u(t))=u(t)')
also V(u(t))' V(u(t))=cos(u(t))(u(t)-1)
setze u(t)=u dann wird die letzte Gleichung zu V(u)' V(u)=cos(u)(u-1). Diese kann man auf beiden Seiten integrieren:
[mm] \integral_{0}^{u}{V(s)' V(s) ds}=\integral_{0}^{u}{cos(s)(s-1)ds}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2}V(u)^2-\bruch{1}{2}V(0)^2=sin(u)(u-1)+cos(u)-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow V(u)=\pm \wurzel{2sin(u)(u-1)+2cos(u)+c}=u(t)' [/mm] über den Definitionsbereich habe ich mir noch keine Gedanken gemacht)
Jetzt kann ich z.B. versuchen zu zeigen, dass u'(t) Lipschitz- stetig ist und nach Picard Lindelöf folgt dann die eindeutige Existenz einer Lösung. Aber u'(t) ist ja jetzt gar nicht eindeutig definiert.. deshalb bin ich jetzt etwas ratlos wie es weiter gehen soll.
Falscher Ansatz?
Ich hatte noch einen zweiten Ansatz, da habe ich eine Ober- und eine Unterlösung bestimmt. Nach kurzem Blick in meine Unterlagen ist mir dann aber aufgefallen, dass dort in dem Theorem in der Voraussetzung steht, dass [mm] t\in(0,l) [/mm] sein muss. Für irgend ein l aus [mm] \IR. [/mm] Hier ist ja [mm] t\in [/mm] (-1,1). Also bin ich wieder ratlos ob ich das anwenden kann.
[mm] \Rightarrow [/mm] ich bin ratlos und brauche Hilfe
Grüße, kulli
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Hallo kullinarisch,
> Zeige, dass folgendes Randwertproblem mindestens eine
> Lösung hat
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> u(t)''=cos(u(t))(u(t)-1) [mm]t\in(-1,1)[/mm]
> u(-1)=u(1)=0
> Hallo, ich weiß nicht ob ich mit dem Lösungsweg den
> richtigen Weg gegangen bin..
>
> Ich habe zuerst versucht u(t)' zu bestimmen:
>
> Dazu der Ansatz: V(u(t))=u(t)' (Kurve aus dem Phasenraum
> als Funktion von u dargestellt)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] u(t)''= V(u(t))'*u(t)'
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] u(t)''= V(u(t))' V(u(t)) (wegen V(u(t))=u(t)')
>
> also V(u(t))' V(u(t))=cos(u(t))(u(t)-1)
>
> setze u(t)=u dann wird die letzte Gleichung zu V(u)'
> V(u)=cos(u)(u-1). Diese kann man auf beiden Seiten
> integrieren:
>
> [mm]\integral_{0}^{u}{V(s)' V(s) ds}=\integral_{0}^{u}{cos(s)(s-1)ds}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2}V(u)^2-\bruch{1}{2}V(0)^2=sin(u)(u-1)+cos(u)-1[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow V(u)=\pm \wurzel{2sin(u)(u-1)+2cos(u)+c}=u(t)'[/mm]
> über den Definitionsbereich habe ich mir noch keine
> Gedanken gemacht)
>
> Jetzt kann ich z.B. versuchen zu zeigen, dass u'(t)
> Lipschitz- stetig ist und nach Picard Lindelöf folgt dann
> die eindeutige Existenz einer Lösung. Aber u'(t) ist ja
> jetzt gar nicht eindeutig definiert.. deshalb bin ich jetzt
> etwas ratlos wie es weiter gehen soll.
>
> Falscher Ansatz?
>
>
> Ich hatte noch einen zweiten Ansatz, da habe ich eine Ober-
> und eine Unterlösung bestimmt. Nach kurzem Blick in meine
> Unterlagen ist mir dann aber aufgefallen, dass dort in dem
> Theorem in der Voraussetzung steht, dass [mm]t\in(0,l)[/mm] sein
> muss. Für irgend ein l aus [mm]\IR.[/mm] Hier ist ja [mm]t\in[/mm] (-1,1).
> Also bin ich wieder ratlos ob ich das anwenden kann.
>
Das Intervall (-1,1) kannst Du doch
auf das Intervall (0,l) transformieren.
Somit kannst Du das Theorem anwenden.
Wenn es nur darum geht, ob das Randwertproblem lösbar ist,
dann hilft dieser ![[]](/images/popup.gif) Satz weiter.
> [mm]\Rightarrow[/mm] ich bin ratlos und brauche Hilfe
>
> Grüße, kulli
>
Gruss
MathePower
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Hi, danke guter Tipp mit der Transformation. Also einfach [mm] f:(0,1)\to(-1,1) s\mapsto [/mm] 2s-1 für t setzen und dann wie geplant fortfahren? Den Satz darf ich ja leider nicht benutzen in der Klausur.
Gruß, kulli
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Hallo kullinarisch,
> Hi, danke guter Tipp mit der Transformation. Also einfach
> [mm]f:(0,1)\to(-1,1) s\mapsto[/mm] 2s-1 für t setzen und dann wie
> geplant fortfahren? Den Satz darf ich ja leider nicht
Ja.
> benutzen in der Klausur.
>
> Gruß, kulli
Gruss
MathePower
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