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| Aufgabe | Zeigen oder widerlegen Sie: Es gibt ein homogenes lineares Gleichungssystem über [mm] \IR [/mm] mit der Lösungsmenge
[mm] $$L=\Left\{\vektor{x \\ y}\in\IR^2~|~x=0\mbox{ oder }y=0\Left\}$$ [/mm] |
Hi,
das bereitet mir gerade Kopfzerbrechen. Ich glaube, dass es so ein LGS nicht gibt, da die einzige Gleichung, die diese Nebenbedingung erfüllt, ja $x*y=0$ ist, und das keine lineare Gleichung ist.
Aber wie zeige ich, dass das die einzige Möglichkeit ist?
Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:20 Fr 22.01.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Zeigen oder widerlegen Sie: Es gibt ein homogenes lineares
> Gleichungssystem über [mm]\IR[/mm] mit der Lösungsmenge
>
> [mm]L=\Left\{\vektor{x \\ y}\in\IR^2~|~x=0\mbox{ oder }y=0\Left\}[/mm]
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> Hi,
>
> das bereitet mir gerade Kopfzerbrechen. Ich glaube, dass es
> so ein LGS nicht gibt, da die einzige Gleichung, die diese
> Nebenbedingung erfüllt, ja [mm]x*y=0[/mm] ist, und das keine
> lineare Gleichung ist.
>
> Aber wie zeige ich, dass das die einzige Möglichkeit ist?
>
> Stefan.
mach es so:
Angenommen, es gäbe ein lineares GLS
[mm] $$A*\vektor{x\\y}=\vektor{0\\0}\;\;\;(A \in \IR^{2 \times 2})$$
[/mm]
mit obiger Lösungsmenge [mm] $L\,.$ [/mm] Dann müsste [mm] $L\,$ [/mm] als Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystems ein Unterraum von [mm] $\IR^2$ [/mm] sein. Ist [mm] $L\,$ [/mm] denn ein solcher Unterraum?
(Tipp: Mit [mm] $\vec{a}:=\vektor{1\\0}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}:=\vektor{0\\1}$ [/mm] gilt [mm] $\vec{a},\;\vec{b} \in [/mm] L$. Gilt denn auch [mm] $(\vec{a}+\vec{b}) \in [/mm] L$?)
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank für die Antwort. Den Begriffs des Unterraums haben leider noch nicht eingeführt. Die Aufgabe ist aus den mathematischen Grundlagen der RWTH Aachen für Erstsemester, deswegen haben wir kaum Werkzeug zur Hand.
Aber ist [mm] $x=0\mbox{ oder }y=0$ [/mm] denn überhaupt eine Lösung und nicht einfach eine Nebenbedingung?
Stefan.
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Hallo Stefan,
> Vielen Dank für die Antwort. Den Begriffs des Unterraums
> haben leider noch nicht eingeführt. Die Aufgabe ist aus
> den mathematischen Grundlagen der RWTH Aachen für
> Erstsemester, deswegen haben wir kaum Werkzeug zur Hand.
>
> Aber ist [mm]x=0\mbox{ oder }y=0[/mm] denn überhaupt eine Lösung
> und nicht einfach eine Nebenbedingung?
Ich würde es definierende Bedingung des (der) vermeindlichen Lösungsraumes (Lösungsmenge) nennen, die Vektoren daraus haben gem. dieser Definition entweder in der ersten, der zweiten oder beiden Komponenten eine Null ..
Dass das nicht sein kann, hat Marcel ja schon gezeigt ...
>
> Stefan.
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 So 24.01.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die Antwort. Den Begriffs des Unterraums
> haben leider noch nicht eingeführt. Die Aufgabe ist aus
> den mathematischen Grundlagen der RWTH Aachen für
> Erstsemester, deswegen haben wir kaum Werkzeug zur Hand.
das ist natürlich nicht besonders schön. Allerdings: Es ist nicht schwer, sich zu überlegen, dass die Lösungsmenge [mm] $L=L_A$ [/mm] eines linearen GLS der Form
[mm] $$A*\vec{x}=\vec{0}\;\;(A \in \IR^{m \times n} \text{ fest}, [/mm] x [mm] \in \IR^n \text{ und }\vec{0} \text{ ist der Nullvektor des }\IR^n)$$
[/mm]
(mit $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] fest) folgende Additivitäts-Bedingung erfüllt:
[mm] [blue]$\blue{\vec{x}_1, \vec{x}_2 \in L_A \Rightarrow (\vec{x}_1+\vec{x}_2) \in L_A}$.[/blue]
[/mm]
Um dies einzusehen: Es gelten
1.) [mm] $\vec{x}_1 \in L_A$ $\Rightarrow$ $\vec{x}_1 \in \IR^n$ [/mm] und [mm] $A*\vec{x}_1=\vec{0}$ [/mm]
und
2.) [mm] $\vec{x}_2 \in L_A$ $\Rightarrow$ $\vec{x}_2 \in \IR^n$ [/mm] und [mm] $A*\vec{x}_2=\vec{0}$.
[/mm]
Was ist nun [mm] $A*(\vec{x}_1+\vec{x}_2)$ [/mm] und warum ist damit [mm] $(\vec{x}_1+\vec{x}_2)\in L_A$? [/mm] Beachte dabei auch [mm] $\vec{x}_1, \vec{x}_2 \in \IR^n\,.$
[/mm]
Und dass diese Additivitäts-Bedingung oben verletzt ist, haben wir ja bereits gesehen.
Gruß,
Marcel
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