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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:24 Sa 15.12.2007 | | Autor: | marcsn |
| Aufgabe | Die Zufallsgrößen [mm]X_1,..,X_n[/mm] seien unabhängig und Exponentialverteilt mit Parameter [mm]\alpha[/mm].
a) Bestimmen sie die Verteilungsfunktion von [mm]Z_n:=max(X_1,...,X_n)[/mm]
b) Bestimmen sie die Verteilungsfunktion von [mm]W_n:=min(X_1,...,X_n)[/mm] |
Hallo mal wieder :)
Hab gerade die Aufgabe bearbeitet bin mir aber mit meinem Ergebnis nicht so wirklich sicher. Wäre super wenn sich das mal jemand kurz anschauen könnte
a)
Es ist aufgrund der Unabhängigkeit:
[mm]F_{max}(x)=P[max(X_1,...,X_n)\le x]=P[X_1 \le x]\cdot \cdot \cdot P[X_n \le x]=(1-\alpha e^{-\alpha x})^n[/mm]
b)
Hier hab ich das Komplement angeschaut also:
[mm]F_{min}(x)=P[min(X_1,...,X_n)\le x]=1-P[min[X_1,...,X_n] > x]=1-(P[X_1 > x]\cdot \cdot P[X_n >x])[/mm]
und da weiter [mm]P[X_1 > x] = 1-P[X_1 \le x]= \alpha e^{-\alpha x}[/mm]
-> [mm]=1-(1-(1-\alpha e^{-\alpha x}))^n =1- (\alpha e^{-\alpha x})^n[/mm]
Gruß
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:28 Sa 15.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Hallo mal wieder :)
Hallo Marc
>
> Hab gerade die Aufgabe bearbeitet bin mir aber mit meinem
> Ergebnis nicht so wirklich sicher. Wäre super wenn sich das
> mal jemand kurz anschauen könnte
Schaun mer mal.
>
> a)
> Es ist aufgrund der Unabhängigkeit:
>
> [mm]F_{max}(x)=P[max(X_1,...,X_n)\le x]=P[X_1 \le x]\cdot \cdot \cdot P[X_n \le x]=(1-\alpha e^{-\alpha x})^n[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b)
> Hier hab ich das Komplement angeschaut also:
>
> [mm]F_{min}(x)=P[min(X_1,...,X_n)\le x]=1-P[min[X_1,...,X_n] > x]=1-(P[X_1 > x]\cdot \cdot P[X_n >x])[/mm]
>
> und da weiter [mm]P[X_1 > x] = 1-P[X_1 \le x]= \alpha e^{-\alpha x}[/mm]
>
> -> [mm]=1-(1-(1-\alpha e^{-\alpha x}))^n =1- (\alpha e^{-\alpha x})^n[/mm]
Alles okay.
Na, es wird doch! 
Fuers Archiv: Die Verteilungsfunktion des Maximums einer Stichprobe [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] ist [mm] $F^n(x)$,
[/mm]
die des Minimums ist [mm] $1-(1-F(x))^n$. [/mm] Hierbei ist $F$ die Verteilungsfunktion von [mm] $X_i$. [/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 So 16.12.2007 | | Autor: | koi |
hallo!
ich hab diese aufgabe auch bearbeitet, kann aber das letzte gleichheitszeichen nicht ganz nachvollziehen.
[mm] F_{max}(x)=P[max(X_1,...,X_n)\le x]=P[X_1 \le x]\cdot \cdot \cdot P[X_n \le [/mm] x]
[mm] =(1-\alpha e^{-\alpha x})^n
[/mm]
die verteilungsfunktion der exponentialverteilung ist doch
F(t) = [mm] (1-e^{-\alpha x}) [/mm] * Indikatorfunktion
meine lösung wäre jetzt
[mm] F_{max}(x)=...=(1- e^{-\alpha x})^n
[/mm]
seh wohl grad mal wieder den wald vor lauter bäumen nicht, aber mir ist nicht klar, warum ich noch ein [mm] \alpha [/mm] im klammerausdruck habe
grüße koi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 So 16.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> hallo!
> ich hab diese aufgabe auch bearbeitet, kann aber das
> letzte gleichheitszeichen nicht ganz nachvollziehen.
>
> [mm]F_{max}(x)=P[max(X_1,...,X_n)\le x]=P[X_1 \le x]\cdot \cdot \cdot P[X_n \le[/mm]
> x]
> [mm]=(1-\alpha e^{-\alpha x})^n[/mm]
>
> die verteilungsfunktion der exponentialverteilung ist doch
> F(t) = [mm](1-e^{-\alpha x})[/mm] * Indikatorfunktion
Ein sehr guter Einwand
> meine lösung wäre jetzt
> [mm]F_{max}(x)=...=(1- e^{-\alpha x})^n[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Gruebel, gruebel, wo ist denn der Unterschied zu Marcs Loesung?
Da [mm] $P(\mbox{Max}\le [/mm] x)=0$ fuer [mm] $x\le [/mm] 0$ ist dann [mm] $F_{max}(x)=0$.
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Mo 17.12.2007 | | Autor: | koi |
danke für die antwort, hat mich ein wenig verwirrt, dass ich keinen unterschied gefunden hab:)
grüße koi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mo 17.12.2007 | | Autor: | freakish |
Hallo,
ich arbeite auch an der Aufgabe und verstehe deine Erklärung leider nicht, Luis. Arbeitet ihr hier nicht die ganze Zeit mit der Dichte, obwohl nach der Verteilungsfunktion gefragt ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Mo 17.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo freakish,
> ich arbeite auch an der Aufgabe und verstehe deine
> Erklärung leider nicht, Luis.
*Was* genau verstehst du denn nicht?
> Arbeitet ihr hier nicht die
> ganze Zeit mit der Dichte, obwohl nach der
> Verteilungsfunktion gefragt ist?
Nein.
vg Luis
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