Explizite Darstellung -> Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Mi 12.03.2008 | | Autor: | sirtpx |
| Aufgabe | Die folge [mm] c_{n} [/mm] ist gegeben durch [mm] c_{0}= [/mm] 1;
[mm] c_{n}=c_{n-1} [/mm] + 0,2 * ( 5,2 - [mm] c_{n-1}) [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1.
Geben sie eine explitize Darstellung für [mm] c_{n} [/mm] an.
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Berechnung der Folgeglieder
[mm] c_{1} [/mm] = [mm] \bruch{46}{25}
[/mm]
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{314}{125}
[/mm]
[mm] c_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1906}{625}
[/mm]
[mm] c_{4} [/mm] = [mm] \bruch{10874}{3125}
[/mm]
[mm] c_{5} [/mm] = [mm] \bruch{59746}{15625}
[/mm]
Für den Nenner habe ich folgendes raus: [mm] 5^{n+1}
[/mm]
Für den Zähler komme ich leider auf keine Lösung. Kann mir jemand etwas behilflich sein?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Dagobert,
> Die folge [mm]c_{n}[/mm] ist gegeben durch [mm]c_{0}=[/mm] 1;
> [mm]c_{n}=c_{n-1}[/mm] + 0,2 * ( 5,2 - [mm]c_{n-1})[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 1.
>
> Geben sie eine explitize Darstellung für [mm]c_{n}[/mm] an.
>
> Berechnung der Folgeglieder
> [mm]c_{1}[/mm] = [mm]\bruch{46}{25}[/mm]
> [mm]c_{2}[/mm] = [mm]\bruch{314}{125}[/mm]
> [mm]c_{3}[/mm] = [mm]\bruch{1906}{625}[/mm]
> [mm]c_{4}[/mm] = [mm]\bruch{10874}{3125}[/mm]
> [mm]c_{5}[/mm] = [mm]\bruch{59746}{15625}[/mm]
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> Für den Nenner habe ich folgendes raus: [mm]5^{n+1}[/mm]
> Für den Zähler komme ich leider auf keine Lösung. Kann mir
> jemand etwas behilflich sein?
>
Da hilft wohl nur sukzessives Einsetzen:
[mm]c_{n}=a*c_{n-1}+b[/mm]
Für [mm]c_{n-1}[/mm] gilt dasselbe:
[mm]c_{n-1}=a*c_{n-2}+b[/mm]
ergibt dann
[mm]c_{n}=a*c_{n-1}+b=a*\left(a*c_{n-2}+b\right)+b=a^{2}*c_{n-2}+a*b+b[/mm]
Das Spiel kann dann soweit weiter gemacht werden, bis eine Gesetzmäßigkeit erkannt wird.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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[mm] c_{n}=c_{n-1} [/mm] + 0,2 * ( 5,2 - [mm] c_{n-1}) [/mm]
[mm] c_{n}=c_{n-1} [/mm] + [mm] \frac{26}{25}-\frac{1}{5} c_{n-1} [/mm]
[mm] c_{n}=\frac{4}{5}c_{n-1} [/mm] + [mm] \frac{26}{25}
[/mm]
Also ist es eine geometrische Folge [mm] c_{n}=a*b^n+c [/mm] mit
[mm] b=\frac{4}{5}
[/mm]
[mm] c(0)=1=a*(4/5)^0+c
[/mm]
[mm] c(1)=46/25=a*(4/5)^1*c
[/mm]
und daher a=-21/5 und c=26/5
=> [mm] c_{n}=-\frac{21}{5}*(\frac{4}{5})^n+\frac{26}{5}
[/mm]
Oder auch noch umgeformt:
[mm] c_{n}=\frac{26*5^n-21*4^n}{5^{n+1}}
[/mm]
(Ist ein wenig Umformarbeit.)
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