Exponential-Abbildung < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Do 08.05.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Betrachte die Abbildung [mm] exp:M(2x2,\IC) \to M(2x2,\IC).
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm] Im(exp)\subset{GL_2(\IC)}
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass [mm] {\script{s}}{\script{l}}_2(\IC):=\left\{A\inM(n\times{n},\IC)|exp(A)\in{SL_2(\IC)}\right\} [/mm] ein Untervektorraum von [mm] M(2x2,\IC) [/mm] ist.
c) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von [mm] \script{sl}_2(\IC) [/mm] bezgl. des durch das Standard-Skalarprodukt auf [mm] \script{sl}_2(\IC) [/mm] induzierten Skalarproduktes.
d) Betrachte die Abbildung [*,*]: [mm] \script{sl}_2(\IC)\to{M(2\times2,\IC)}. [/mm] Dies ist KEIN Skalarprodukt. Gibt es dennoch eine Basis W von [mm] \script{sl}_2(\IC), [/mm] so dass [mm] [A_i,A_j]=0 [/mm] für alle [mm] A_i\not=A_j\in{W}? [/mm] |
Hier mangelt es bei mir noch am generellen Verständnis. Was ist [mm] \script(sl)_2(\IC) [/mm] und was ist [mm] SL_2(\IC)? [/mm] Was ist mit der induzierten Abb. in c und wie geh ich Aufgabenteil d an? Ansätze wären echt super, damit ich weis, we ich hier drangehen kann...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Do 08.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Betrachte die Abbildung [mm]exp:M(2x2,\IC) \to M(2x2,\IC).[/mm]
> a)
> Zeigen Sie, dass [mm]Im(exp)\subset{GL_2(\IC)}[/mm]
> b) Zeigen Sie, dass
> [mm]{\script{s}}{\script{l}}_2(\IC):=\left\{A\in M(n\times{n},\IC)|exp(A)\in{SL_2(\IC)}\right\}[/mm]
> ein Untervektorraum von [mm]M(2x2,\IC)[/mm] ist.
> c) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von
> [mm]\script{sl}_2(\IC)[/mm] bezgl. des durch das
> Standard-Skalarprodukt auf [mm]\script{sl}_2(\IC)[/mm] induzierten
> Skalarproduktes.
> d) Betrachte die Abbildung [*,*]:
> [mm]\script{sl}_2(\IC)\to{M(2\times2,\IC)}.[/mm] Dies ist KEIN
> Skalarprodukt. Gibt es dennoch eine Basis W von
> [mm]\script{sl}_2(\IC),[/mm] so dass [mm][A_i,A_j]=0[/mm] für alle
> [mm]A_i\not=A_j\in{W}?[/mm]
> Hier mangelt es bei mir noch am generellen Verständnis.
> Was ist [mm]\script(sl)_2(\IC)[/mm] und was ist [mm]SL_2(\IC)?[/mm]
Die Gruppe [mm]SL_2(\IC)[/mm] besteht aus den komplexen [mm] $2\times2$-Matrizen [/mm] mit Determinante 1.
[mm]\script{sl}_2(\IC)[/mm] ist zunächst durch die angegebene Bedingung
[mm] \script{sl}_2(\IC) := \left\{A\in M(n\times{n},\IC)\mid\exp(A)\in{SL_2(\IC)}\right\}[/mm]
definiert. Es ist die Lie-Algebra der Lie-Gruppe [mm]SL_2(\IC)[/mm].
> Was ist
> mit der induzierten Abb. in c
Hast du Teil c richtig aufgeschreiben? So verstehe ich die Aufgabe nicht.
> und wie geh ich Aufgabenteil
> d an? Ansätze wären echt super, damit ich weis, we ich hier
> drangehen kann...
Ich denke, dass mit [mm] $[\ast,\ast]$ [/mm] der Kommutator gemeint ist, aber die Aufgabenstellung kommt mir unvollständig vor. Müsste es nicht
[mm][\ast,\ast]:\script{sl}_2(\IC)\times \script{sl}_2(\IC) \to{M(2\times2,\IC)}[/mm]
heißen?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:29 So 11.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hallo,
ich habe auch eine Frage zu der a)
Beh: Im(exp) [mm] \subset GL_2(\IC)
[/mm]
Bew:
Im(exp) = {A [mm] \in M(2x2,\IC) [/mm] | [mm] \exists [/mm] B [mm] \in M(2x2,\IC): [/mm] exp(B) = A}
Sei [mm] B\in M(2x2,\IC) [/mm] bel
Seien [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] Eigenwerte von B
S [mm] \in GL_2(\IC)
[/mm]
Dann ist A:=exp(B) = [mm] S*\pmat{exp(\lambda_1) & exp(\lambda_1) \\ 0 & exp(\lambda_1)}*S^{-1} [/mm] oder [mm] S*\pmat{exp(\lambda_1) & 0 \\ 0 & exp(\lambda_2)}*S^{-1}
[/mm]
Nun muss ich zeigen, dass A [mm] \in GL_2(\IC) [/mm] oder A invertierbar oder [mm] \exists [/mm] C [mm] \in GL_2(\IC): [/mm] C*A = [mm] E_2 [/mm] oder die Spalten von A sind linear unabhängig
Nun sind die Spalten von [mm] \pmat{exp(\lambda_1) & exp(\lambda_1) \\ 0 & exp(\lambda_1)} [/mm] sowie [mm] \pmat{exp(\lambda_1) & 0 \\ 0 & exp(\lambda_2)} [/mm] linear unabhängig also sind sie [mm] \in GL_2(\IC)
[/mm]
S und S^(-1) sind auch [mm] \in GL_2(\IC)
[/mm]
Da die Gruppenverknüpfung von [mm] GL_2(\IC) [/mm] die Matrixmultiplikation ist, folgt dass auch [mm] A\in GL_2(\IC)
[/mm]
stimmt das so oder hab ich mich irgendwo falsche Annahmen gemacht oder sonst sowas?
c)
$ [mm] {\script{s}}{\script{l}}_2(\IC):=\left\{A\inM(n\times{n},\IC)|exp(A)\in{SL_2(\IC)}\right\} [/mm] $
dies sind also die (2x2)-Matrizen A für die exp(A) [mm] \in GL_2(\IC) [/mm] (was wir aber schon in a) gezeigt haben!!) und det(exp(A))=e^(Spur(A)) =1
Also hat A die Form [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12}\\a_{21} & -a_{11} }
[/mm]
Also wäre B = [mm] {\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0},\pmat{ 0 & 0 \\ 1& 0 }} [/mm] eine Basis von [mm] sl_2(\IC)
[/mm]
Nun ist die Aufgabenstellung ja: "Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von $ [mm] \script{sl}_2(\IC) [/mm] $ bezgl. des durch das Standard-Skalarprodukt auf $ [mm] \script{sl}_2(\IC) [/mm] $ induzierten Skalarproduktes."
Aber was ist denn hier das Standard-Skalarprodukt?
Es geht ja um Matrizen und nicht um [mm] \IR^n [/mm] oder [mm] \IC^n
[/mm]
Hier weiß ich echt nicht weiter.. und ohne dieses Skalarprodukt kann ich ja leider nicht weiter machen.. deswegen wäre ich sooo froh wenn mir jemand helfen könnte!!
Danke für eure Hilfe!
Grüße,
Damn
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:32 Di 13.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hallo,
ich habe die c zwar glaub ich jetzt hinbekommen.
Ich habe [mm] \pmat{a&b\\c&d } [/mm] als vektor in [mm] \IC^n [/mm] aufgefasst: [mm] \vektor{a\\b\\c\\d}
[/mm]
Aber kann mir vielleicht jemand einen Tipp zur d sagen?
Wie kann man denn solch eine Basis finden?
Bzw. muss ich eine Basis angeben oder soll ich es nur beweisen oder wiederlegen dass es theoretisch möglich ist?
Grüße,
Damn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 20.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Mo 19.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:01 Do 15.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Rainer!
> > c) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von
> > [mm]\script{sl}_2(\IC)[/mm] bezgl. des durch das
> > Standard-Skalarprodukt auf [mm]\script{sl}_2(\IC)[/mm] induzierten
> > Skalarproduktes.
> > d) Betrachte die Abbildung [*,*]:
> > [mm]\script{sl}_2(\IC)\to{M(2\times2,\IC)}.[/mm] Dies ist KEIN
> > Skalarprodukt. Gibt es dennoch eine Basis W von
> > [mm]\script{sl}_2(\IC),[/mm] so dass [mm][A_i,A_j]=0[/mm] für alle
> > [mm]A_i\not=A_j\in{W}?[/mm]
>
> > Was ist
> > mit der induzierten Abb. in c
>
> Hast du Teil c richtig aufgeschreiben? So verstehe ich die
> Aufgabe nicht.
Also [mm] $\script{sl}_2(\IC)$ [/mm] ist ja ein Untervektorraum von [mm] $Mat_{2 \times 2}(\IC)$. [/mm] Auf [mm] $Mat_{2 \times 2}(\IC)$ [/mm] gibt es ein kanonisches Skalarprodukt, und bzgl. diesem kann man nun mit Gram-Schmidt eine ON-Basis von [mm] $\script{sl}_2(\IC)$ [/mm] finden (wenn man erstmal eine Basis hat).
> > und wie geh ich Aufgabenteil
> > d an? Ansätze wären echt super, damit ich weis, we ich hier
> > drangehen kann...
>
> Ich denke, dass mit [mm][\ast,\ast][/mm] der Kommutator gemeint ist,
> aber die Aufgabenstellung kommt mir unvollständig vor.
> Müsste es nicht
>
> [mm][\ast,\ast]:\script{sl}_2(\IC)\times \script{sl}_2(\IC) \to{M(2\times2,\IC)}[/mm]
>
> heißen?
Denke ich auch...
LG Felix
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