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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Di 27.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass 0<x<1 gilt:1+x< [mm] e^{x}< \bruch{1}{1-x} [/mm] .
Sie duerfen ohne Beweis verwenden das die Exponentailfunktion ihre eigene Ableitung ist.) |
Kann mir hier jemand weiter helfen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Di 27.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lavanya!
Zunächst zerlegen wir diese Ungleichheitskette in zwei Ungleichungen:
$1+x \ < \ [mm] e^x$ [/mm] sowie [mm] $e^x [/mm] \ < [mm] \bruch{1}{1-x}$
[/mm]
zur 1. Ungleichung:
Umgestellt ergibt sich: $d(x) \ = \ [mm] e^x-(1+x) [/mm] \ = \ [mm] e^x-1-x [/mm] \ > \ 0$
Dabei ist $d(x)_$ der Abstand der beiden Funktionsgraphen.
Zeige, dass das (absolute) Minimum im genannten Intervall $] \ 0; \ 1 \ [$ einen zugehörigen Wert $> \ 0$ hat.
Oder anders herum formuliert:
Zeige, dass die Menge der Funktionswerte von $d(x)_$ das Infinum = 0 besitzt, aber kein Minimum.
Für die zweite Teil-Ungleichung funktioniert das analog.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 27.12.2005 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> Zunächst zerlegen wir diese Ungleichheitskette in zwei
> Ungleichungen:
>
> [mm]1+x \ < \ e^x[/mm] sowie [mm]e^x \ < \bruch{1}{1-x}[/mm]
>
>
> zur 1. Ungleichung:
> ...
>
> Für die zweite Teil-Ungleichung funktioniert das analog.
... wobei du bei dieser zuerst auf beiden Seiten den Kehrwert nehmen solltest (und pass auf dass du das Ungleichungszeichen richtig aenderst).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:39 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
Noch mal Danke im vorraus......
d(x) waere dann ja [mm] e^{x} [/mm] - 1 > 0
ICH kann es nur zeigen, indem ich Zahlen einsetze..... Dann sieht man, dass es zwischen 0 und 1 sein muss..... aber man muss es sicher anders zeigen oder ?
nur wie ????
Gruss Dilani
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:02 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dilani!
> d(x) waere dann ja [mm]e^{x}[/mm] - 1 > 0
Das ist aber bereits die erste Ableitung [mm] $d\red{'}(x) [/mm] \ = \ [mm] e^x-1$ [/mm] .
Für welche Werte wird dieser Term denn nun gleich Null (sprich extremal)?
> ICH kann es nur zeigen, indem ich Zahlen einsetze..... Dann
> sieht man, dass es zwischen 0 und 1 sein muss..... aber man
> muss es sicher anders zeigen oder ?
Du hast ja bereits richtig die Ableitung bestimmt. Hier musst du nun die Nullstellen dieser Ableitung bestimmen.
Zustzlich solltest Du Dir die (Grenz-)Werte für $d(x)_$ an den Intervallgrenzen ansehen (das entspricht hier in etwa dem Zahleneinsetzen, wie Du es gemacht hast).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
Hi Loddar,
fuer x bekomm ich dann x = [mm] \bruch{ln 1}{ln e } [/mm]
also [mm] e^{ \bruch{ln 1}{ln e}} [/mm] -1 - [mm] \bruch{ln 1}{ln e} [/mm] > 0
muss ich es genau so fuer die 2. Ungleichung machen ?
2. Ungleichung :
folgt :
[mm] e^{ x } [/mm] < [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow e^{ x }* [/mm] ( 1-x ) > ln 1
[mm] \Rightarrow e^{ x }- e^{ x }* [/mm] x >ln 1
[mm] \Rightarrow [/mm] x*ln e - [mm] x^{2} [/mm] ln e > ln 1 , da ln e = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] + x >ln 1
[mm] \Rightarrow [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] + x - ln 1 > 0
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ist das so richtig wenn ich weiter mache ?
gruss Lavanya
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lavanya!
> fuer x bekomm ich dann x = [mm]\bruch{ln 1}{ln e }[/mm]
Was ergibt denn [mm] $\bruch{\ln(1)}{\ln(e)}$ [/mm] ?
[mm] $x_e [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\ln(1)}{\ln(e)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0}{1} [/mm] \ = \ 0$
Das sieht doch schon viel freundlicher aus, oder?
Jetzt müssen wir aber ein wenig aufpassen. Denn dieser x-Wert liegt ja nicht mehr in unserem betrachteten Intervall [mm] $\left]0; 1\right[$ [/mm] .
Aber wenn bei dieser Funktion $d(x)_$ ein Minimum vorliegt (wegen $d''(0) \ = \ [mm] e^0 [/mm] \ = \ 1 \ > \ 0$ mit $d(0) \ = \ [mm] e^0-1-0 [/mm] \ = \ 1-1 \ = \ 0$), dann nur an der Stelle [mm] $x_e [/mm] \ = \ 0$.
Mit dem Funktionswert $d(0) \ = \ 0$ können wir nun folgern, dass für jedes andere $x_$ der Abstand größer als Null ist und damit die Behauptung nachgewiesen.
> muss ich es genau so fuer die 2. Ungleichung machen ?
Beachte zunächst den obigen Tipp von Felix: Wir drehen hier die Ungleichung mal um. Aber aufpassen mit dem Ungleichheitszeichen.
[mm] $e^x [/mm] \ < \ [mm] \bruch{1}{\blue{1-x}}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\bruch{1}{e^x} [/mm] \ = \ [mm] e^{-x} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] \blue{1-x}$ [/mm] für $x \ [mm] \in [/mm] \ ]0;1[$
Damit wird unsere zu untersuchende Abstandsfunktion zu:
$d(x) \ = \ [mm] e^{-x}-(\blue{1-x}) [/mm] \ = \ [mm] e^{-x}-\blue{1+x}$
[/mm]
Und nun gehen wir genauso vor wie bei der 1. Teilungleichung.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
d(x) = [mm] e^{-x}-(x-1) [/mm] = [mm] e^{-x}-x+1 [/mm]
also loese ich jetzt [mm] e^{-x}-x+1>0 [/mm] nach x auf .
folgt :
[mm] e^{-x}-x+1 [/mm] > 0 ......... wie kann ich das nach x aufloesen?
ln auf beiden Seiten anwenden , muesste der erste Schritt sein.
das wuerde dann doch so aussehen oder?
ln ( [mm] e^{-x}-x+1 [/mm] ) > 0
und dann ? *Ich sollte mir die Gesetze von Log noch mal angucken....
...
Lavanya
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lavanya!
Wie bei der ersten Teil-Ungleichung: Zunächst die Ableitung [mm] $d\red{'}(x)_$ [/mm] bilden und hiervon die Nullstellen bestimmen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:14 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
d(x) = [mm] e^{-x}-x+1
[/mm]
folgt:
[mm] e^{-x}-x+1 [/mm] >0
[mm] d'(x)=-e^{-x}-1
[/mm]
also wenn man das nach x aufloest kommt
x < 1 raus....
wie sieht dann die argumentation aus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lavanya!
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Da ist mir in meiner Antwort oben leider ein Fehler unterlaufen, den ich inzwischen behoben habe (siehe Korrekturen in [mm] $\blue{\text{blau}}$).
[/mm]
Denn mit der Ableitung und der Umformung ist die Argumentation dann original dieselbe wie bei der 1. Teil-Ungleichung.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Do 29.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
hab doch noch eine Frage....
ist das so richtig was ich hier gerechnet habe ?
[mm] e^{x}< \bruch{1}{1-x}
[/mm]
d(x) = [mm] e^{-x} [/mm] - 1+x
d'(x)= [mm] -e^{-x} [/mm] + 1
d'(x) = o
[mm] -e^{-x} [/mm] + 1 = 0
[mm] -e^{-x} [/mm] = -1
[mm] e^{-x} [/mm] = 1
x ln e = ln 1
x=0
Ist das richtig ?
ist die Argumentation echt exakt die selbe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Do 29.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lavanya!
Fast alles richtig bis auf die vorletzte Zeile (am Ergebnis ändert das aber nichts).
> [mm]e^{-x}[/mm] = 1
> x ln e = ln 1
Hier muss es streng genommen heißen (schließlich steht im Exponenten der e-Funktion auch dieses Minuszeichen) :
[mm] $\red{-}x*\ln(e) [/mm] \ = \ [mm] \ln(1)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Do 29.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
da bekomme ich x= 0 raus......
kann das denn sein ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Do 29.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lavanya!
Ja, $x \ = \ 0$ ist richtig!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Do 29.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
Juhuuu... wir haben es geshafft...
ohne deine Hilfe..... haett ich das niemals machen koennen
ciao
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