Exponentialfunktion für 0 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Do 27.07.2006 | | Autor: | ABB |
Warum ist die Exponentialreihe für x=0 definiert und warum ist ihr Wert darüber hinaus 1?
Danke für die Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Do 27.07.2006 | | Autor: | Barncle |
Weil einfach jede Zahl hoch 0 gleich 1 ist!
auch [mm] 2000^0 [/mm] = 1....
Glaub daran gibts nichts großartig zu verstehen. Ist denk ich Definitionssache! :) Also leider einfach akzeptieren!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Do 27.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo ABB!
> Warum ist die Exponentialreihe für x=0 definiert und warum
> ist ihr Wert darüber hinaus 1?
Schreib die Reihe doch mal hin: Es ist [mm] $\exp(x) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$. [/mm] Wenn du da jetzt mal $x = 0$ einsetzt, dann ist fuer $k = 1, 2, ...$ jeweils [mm] $\frac{x^k}{k!} [/mm] = [mm] \frac{0^k}{k!} [/mm] = [mm] \frac{0}{k!} [/mm] = 0$, da [mm] $0^k [/mm] = 0$ ist fuer jedes $k = 1, 2, 3, ...$. Wenn aber $k = 0$ ist, dann ist [mm] $0^k [/mm] = [mm] 0^0 [/mm] = 1$ per Definition, und es ist $0! = 1$ per Definition. Deswegen ist [mm] $\exp(0) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{0^k}{k!} [/mm] = [mm] \frac{0^0}{0!} [/mm] = [mm] \frac{1}{1} [/mm] = 1$.
LG Felix
PS: Dies ist uebrigens auch ein Argument, warum man [mm] $0^0 [/mm] = 1$ definieren sollte: Andernfalls ist die Exponentialfunktion nicht stetig im Nullpunkt!
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