Exponentialfunktion (mit e) < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 So 29.05.2005 | | Autor: | Jessi04 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
| Aufgabe | Gegeben ist für k Element aus R die Funktion fk durch fk (x) = (x-k) mal e-x ;x Element aus R
a) Untersuchen sie den Graphen von fk auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extrem- und Wendepunkte sowie auf Asymptoten.
b) Wie lautet die Gleichung der Ortslinie, auf der alle Extrempunkte liegen? |
Ich habe zwar die Lösungen der Aufgabe hier, komme aber nicht so wirklich dorthin.
Zunächst habe ich versucht die Ableitungen zu bilden, die ich ja zum Berechnen der Extrem- und Wendepunkte brauche.
f'(x)= (x-k-1) mal e-x
f''(x) = (x-k-2) mal e-x
f'''(x) = (x-k-3) mal e-x
Das wären die Ableitungen die ich rausbekommen habe.
Um nun die Extrempunkte auszurechnen sind die Bedingungen f'(x)=0 und f''(x) # 0
Ok dann setze ich (x-k-1) mal e-x = 0
Aber da hört der ganze Spaß auch schon auf. Ich habe keine Ahnung wohin ich jetzt auflösen muss und wie. Da ist im Moment ne totale Blockade bei mir..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 So 29.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Jessi.
> Aber da hört der ganze Spaß auch schon auf. Ich habe keine Ahnung wohin ich jetzt auflösen muss und wie. Da ist im Moment ne totale Blockade bei mir..
Nimmt ein Produkt den Wert 0 an, so muss wenigstens einer seiner Faktoren gleich 0 sein. In diesem Falle kommen dafür die Terme x-k-1 und [mm] $e^{-x}$ [/mm] in Frage. Letzterer wird nie null, [die Exponentialfunktion konvergiert gegen 0, wenn der Exponent gegen -unendlich geht, gegen unendlich, wenn der Exponent gegen unendlich geht] ferner ist [mm] $(x-k-1)\cdot e^{-x}=0$ [/mm] genau dann, wenn $x-k-1=0$.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 So 29.05.2005 | | Autor: | Jessi04 |
Achja, klar. Danke (=
Wenn ich das dann weiter berechne, dann :
f'(x)= 0
-(x-k-1) mal e-x= 0; -e-x kann nicht null werden, also:
(x-k-1) = 0
<=> x= k+1
f''#0
(x-k-2) mal e-x = 0 da e-x nie 0 werden kann, ist die Funktion # 0
und E (k+1|e-k-1), weil
f(k+1)= (k+1-k) mal e-k-1
<=> y= e-k-1
Die Wendepunkte:
f''(x) = 0
(x-k-2) mal e-x = 0, da e-x nie 0 wird:
x-k-2=0
<=> x= k+2
f'''(x) # 0
-(x-k-3) mal e-x = 0 da -e-x nie 0 werden kann, ist die Funktion # 0
und W (k+2|2e-k-2), weil
f(k+1)= (k+2-k) mal e-k-2
<=> y= 2e-k-2
Dann müsste ja die Asymptotengleichung kommen. Aber da verstehe ihc gar nicht wie man das machen muss... )=
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 So 29.05.2005 | | Autor: | Mehmet |
Liebe Jessi 04
Also ich versuche jetzt nochmal alles komplett mit Lösungen zu lösen und dann kannst du vergleichen.
Kleiner Tipp: Benutze Bitte beim nächsten mal den Formeleditor ansonsten ist es sehr anstrengend zu lesen.
Also wir fangen mal an.
[mm] f(x)=(x-k)e^{-x}
[/mm]
Ableitungen:
[mm] f'(x)=e^{-x}(1-(x-k))
[/mm]
[mm] f''(x)=e^{-x}(-2+(x-k))
[/mm]
[mm] f'''(x)=e^{-x}(3-(x-k))
[/mm]
Extrempunkte:
f'(x)=0 [mm] e^{-x}(1-(x-k))=0
[/mm]
[mm] x_{1}=k+1
[/mm]
[mm] f''(x_{1})=e^{-k-1}(-1)<0 \Rightarrow [/mm] Hochpunkt
Hochpunkt (k+1|f(k+1))
Wendepunkte:
f''(x)=0 [mm] e^{-x}(-2+(x-k))=0
[/mm]
[mm] x_{2}=k+2
[/mm]
[mm] f'''(x_{2})=e^{(-k-2)}(1)\not=0 \Rightarrow [/mm] Wendepunkt
Wendepunkt: (k+2|f(k+2))
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Gruß Mehmet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 So 29.05.2005 | | Autor: | Jessi04 |
Ja. So weiß ich auf jeden Fall schonmal, das das was ich hier gemacht hab dann doch ansatzweise richtig war.
Vielen Dank! (=
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Hi, Jessi,
> Gegeben ist für k Element aus R die Funktion fk
> durch fk (x) = (x-k) mal e-x ;x
> Element aus R
> Zunächst habe ich versucht die Ableitungen zu bilden, die
> ich ja zum Berechnen der Extrem- und Wendepunkte brauche.
>
> f'(x)= (x-k-1) mal e-x
Hast Du vergessen, nachzudifferenzieren?
f'(x) = [mm] 1*e^{-x} [/mm] + (x - [mm] k)*e^{-x}*(-1)
[/mm]
= (- x + k + [mm] 1)*e^{-x}
[/mm]
> f''(x) = (x-k-2) mal e-x
Das ist (zufällig, weil sich 2 Fehler ausgleichen) richtig!
> f'''(x) = (x-k-3) mal e-x
Das ist analog zu f'(x) wieder falsch!
Also: Nochmals probieren!
Und dann weiter mit Hannos Tipp!
Denk' dran: Egal was an Buchstaben da steht:
Bei der Kurvendiskussion wird zunächst nach der Variablen (meist x) aufgelöst:
- x + k + 1 = 0 <=> x = ???
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