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| Aufgabe | In einem Mathe-Buch fand ich unter dem Stichwort "Exponentialgleichung" folgendes:
Exponentialgleichung heißt eine Gleichung, bei der die Variable im Exponenten einer Potenz vorkommt.
Und dann war als Beispiel genannt:
[mm] 3^{x+1} [/mm] = [mm] 3^{2x+1} [/mm] + [mm] 3^{2x-1} [/mm] |
Angeblich soll diese Aufgabe rechnerisch zu lösen sein...
Aus dem [mm] 3^{2x+1} [/mm] + [mm] 3^{2x-1} [/mm] wurde gemacht / umgeformt zu [mm] 3^{2x}(3+\bruch{1}{3}) [/mm] = [mm] 10*3^{2x-1}
[/mm]
Aber es gab keine richtigen (ausführlichen) Erklärungen zu diesen Umformungen. Wo kommt die "10" hier?
Anscheinend wurden da mehrere Schritte auf einmal gemacht bzw. irgendwelche Dinge vorausgesetzt.
Weiter ging es dann mit Logarithmen.
Ein Ergebnis habe ich dann zwar zeichnerisch gefunden mit x [mm] \approx [/mm] -0.0959 , aber man sollte wohl rechnerisch auf das Ergebnis kommen.
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Hallo,
vorausgesetzt bzw. benutzt wurden nur die grundlegenden Rechenregeln für Potenzen:
Aus 2x+1=2x-1+2 folgt [mm]3^{2x+1}=3^{2x-1}*3^2[/mm] und durch Ausklammern [mm]3^{2x+1}+3^{2x-1}=(3^2+1)*3^{2x-1}[/mm].
Der Zwischenschritt, zuerst [mm]3^{2x}[/mm] auszuklammern, womit man auf [mm](3+\frac 13)*3^{2x}[/mm] kommt, ist dabei meines Erachtens überflüssig und eher verwirrend.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Di 26.09.2017 | | Autor: | fred97 |
> In einem Mathe-Buch fand ich unter dem Stichwort
> "Exponentialgleichung" folgendes:
> Exponentialgleichung heißt eine Gleichung, bei der die
> Variable im Exponenten einer Potenz vorkommt.
>
> Und dann war als Beispiel genannt:
> [mm]3^{x+1}[/mm] = [mm]3^{2x+1}[/mm] + [mm]3^{2x-1}[/mm]
> Angeblich soll diese Aufgabe rechnerisch zu lösen
> sein...
>
>
> Aus dem [mm]3^{2x+1}[/mm] + [mm]3^{2x-1}[/mm] wurde gemacht / umgeformt zu
> [mm]3^{2x}(3+\bruch{1}{3})[/mm] = [mm]10*3^{2x-1}[/mm]
>
> Aber es gab keine richtigen (ausführlichen) Erklärungen
> zu diesen Umformungen. Wo kommt die "10" hier?
Wo die 10 herkommt hat mein Vorredner schon erklärt.
> Anscheinend wurden da mehrere Schritte auf einmal gemacht
> bzw. irgendwelche Dinge vorausgesetzt.
>
> Weiter ging es dann mit Logarithmen.
Na ja, das würde ich erst am Ende machen !
Setze [mm] t=3^x. [/mm] Dann bekommen wit
[mm] $3t=3t^2+\frac{1}{3}t^2$.
[/mm]
Da t [mm] \ne [/mm] 0 ist, vereinfacht sich das zu
[mm] $3=3t+\frac{1}{3}t$. [/mm]
Das liefert
$t= [mm] \frac{10}{9}$.
[/mm]
Nun ist noch zu lösen
[mm] 3^x= \frac{10}{9}.
[/mm]
Erst jetzt benutzt man den Logarithmus.
Das liefert dann $x [mm] \approx [/mm] -0.0964$
>
> Ein Ergebnis habe ich dann zwar zeichnerisch gefunden mit x
> [mm]\approx[/mm] -0.0959 , aber man sollte wohl rechnerisch auf das
> Ergebnis kommen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Di 26.09.2017 | | Autor: | rabilein1 |
Danke an euch.
Einleuchtend, dass die Umformungen richtig sind, ist mir das jetzt schon
also z.B. dass [mm] 3^{2}+1=10,
[/mm]
aber darauf, dass man auf diese Weise rechnerisch zu einer Lösung kommt, wäre ich nicht gekommen.
Eventuell ist das aber auch alles eine Frage der Übung.
Mein Hauptkritikpunkt an vielen Mathe-Büchern ist aber, dass sie oftmals ohne genaue Erklärung mehrere Schritte auf einmal machen.
Okay, im gegenteiligen Fall würde das vielleicht bewirken, dass die Bücher dreimal so dick und doppelt so teuer wären, und sich die Leute dann beschweren, warum alles so ausführlich erklärt wird.
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