Exponentiell erzeugende Funkti < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Do 03.01.2013 | | Autor: | EGF |
| Aufgabe | | Was ist die EGF für die Anzahl der Möglichkeiten n- Straßenlaternen in den Farben rot, weiß, blau, grün und gelb zu streichen, wenn man annimmt, dass es sich bei den Farben grün und gelb jeweils um eine gerade Anzahl handeln muss. Gib die Formel an. (Hinweis: Fakultät nicht vergessen!) |
Hallo,
ich habe folgendes Problem: ich soll die Aufgabe oben bearbeiten und vorstellen. Soweit so gut.
Ich bin nun soweit, dass ich für jede Farbe eine EGF erstelle [mm] \summe_{n=0} [/mm] an [mm] \bruch{x^n}{n!}
[/mm]
Dann würde ich die Multiplikationsregel bzw das Produktprinzip anwenden wollen. Hierfür müsste ich ja Nebenbedinungen schaffen, die für die Farben gelb und grün gelten. Hier scheitert es schon. Wenn ich mit 2 multipliziere, ist eine Zahl ja gerade, ebenso, wenn sie im natürlichen Bereich durch 2 teilbar ist. Aber wie fasse ich das in einer Formel zusammen? Im Skript steht noch folgender Tipp: "Don’t be surprised if you see a hyperbolic sine or hyperbolic cosine in your
answer. If you aren’t familiar with these functions, look them up in a calculus book. " Das habe ich getan, verstehe es aber noch weniger.
Vielen Dank im voraus für Eure/Deine Hilfe!
lg EGF
/Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Do 03.01.2013 | | Autor: | Sigma |
Hallo EGF,
ich würde die exponentiell erzeugende Funktion F(x) so aufstellen:
[mm] F(x)=\overbrace{\left(\summe_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)}^{\text{grün}}*\overbrace{\left(\summe_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)}^{gelb}*\overbrace{\left(\summe_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)}^{rot}*\overbrace{\left(\summe_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)}^{\text{weiß}}*\overbrace{\left(\summe_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)}^{blau}
[/mm]
kommst du alleine weiter?
mfg sigma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Fr 04.01.2013 | | Autor: | EGF |
> Hallo EGF,
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> ich würde die exponentiell erzeugende Funktion F(x) so
> aufstellen:
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> [mm]F(x)=\overbrace{\left(\summe_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)}^{\text{grün}}*\overbrace{\left(\summe_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)}^{gelb}*\overbrace{\left(\summe_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)}^{rot}*\overbrace{\left(\summe_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)}^{\text{weiß}}*\overbrace{\left(\summe_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)}^{blau}[/mm]
>
> kommst du alleine weiter?
>
> mfg sigma
Hallo, vielen Dank für deine Antwort!
Kannst du mir bitte erklären, wieso du 2 n nimmst? Ich hatte auch erst an 2n gedacht und dann war ich mir unsicher, ob ich damit nicht die Laternen verdoppel? Darf ich das?
lg :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Sigma |
Hallo,
die egf der Folge [mm] \{{f_n}\}_{n \in \IN} [/mm] ist [mm] F(x)=\summe_{n=0}^{\infty}f_n \frac{x^n}{n!}
[/mm]
die egf für nur die geraden Folgeglieder [mm] \{{f_{2n}}\}_{n \in \IN} [/mm] ist [mm] \frac{F(x)+F(-x)}{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 04.01.2013 | | Autor: | EGF |
Die für die ungeraden verstehe ich bzw. die normalen.
Bei den geraden zwickt es noch ein klein wenig.
Der Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] erscheint mir einleuchtend, da wir ja die Funktion oben scheinbar verdoppeln, in meinem Fall steht dann ja da [mm] \bruch{1}{2} (e^x [/mm] + e^(-x)
Meine Frage ist nun wie sich das e^(-x) zusammen setzt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Sigma |
Du suchst die egf der Folge{1,0,1,0,1,0,1,..}
Die formale Potenzreihe fürdie lautet [mm] F(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots
[/mm]
Nun die formale Potenzreihe für [mm] F(-x)=\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^n}{n!}=1+\frac{(-x)^1}{1!}+\frac{(-x)^2}{2!}+\frac{(-x)^3}{3!}+\ldots=1-\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}-\frac{-x^3}{3!}+\ldots
[/mm]
Bilde die Summe beider Potenzreihen und die ungeraden Glieder fallen raus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Fr 04.01.2013 | | Autor: | EGF |
Ja das verstehe ich! Vielen Dank!
Nun nur noch eine klitzekleine letzte Frage...
Wenn ich die dann kombiniere die EGF also multipliziere.. habe ich ja für die ersten drei Farben die Funktionen [mm] e^x [/mm] also
[mm] e^x*e^x*e^x*\bruch{1}{2}(e^x+e^{-x})*\bruch{1}{2}(e^x+e^{-x}) [/mm] = EGF
Ist das soweit richtig?
[mm] \bruch{1}{2}(e^x+e^{-x}) [/mm] entspricht dann dem cos x
Dann haben wir e^(3x)*cos(x)² ? ISt das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Sigma |
Du meinst wohl eher "Kosinus Hyperbolicus" Cosh
sonst sieht es gut aus Ich würde aber lieber alles mit der E-Funktion weiterrechnen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Fr 04.01.2013 | | Autor: | EGF |
Super vielen, vielen Dank für deine Hilfe! Du hast mein Studium gerettet ;D
Wo soll ich die Pralinen hinschicken?
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Sigma |
Nix zu danken.
Ich hoffe aber, du postest noch dein Lösung für die Anzahl der Möglichkeiten zur Überprüfung.
Hier mal die ersten 10 Lösungen aber noch nicht überprüft:
{1, 3, 11, 45, 197, 903, 4271, 20625, 100937, 498123, 2470931}
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Fr 04.01.2013 | | Autor: | EGF |
Soweit benötige ich das gar nicht. Ich muss nur die EGF aufstellen :D
Danke nochmal! :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Sigma |
Klar ist das eine Möglichkeit die EGF schön darzustellen. Aber wie willst du da die Anzahl der Möglichkeiten ablesen?
[mm] F(x)=e^{3x}*\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2
[/mm]
Diese Darstellung finde ich viel besser und praktischer:
[mm] F(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4}*(1+2*3^n+5^n) \frac{x^n}{n!}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Fr 04.01.2013 | | Autor: | EGF |
Das stimmt natürlich. Zum weiter arbeiten ist die wesentlich geeigneter!
Mitlerweile verstehe ich das Prinzip :D
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