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| Aufgabe | 8) Zu Beginn einer bakteriologischen Untersuchung werden 80 Bakterien gezählt. Innerhalb von 6 Stunden verdoppelt sich ihre Anzahl.
a) Erstelle eine Wertetabelle für die ersten 24 Stunden in 6-Stunden-Intervallen.
b) Wie viele Bakterien sind nach 5 Tagen vorhanden? Löse mit einer Funktionsgleichung!
c) Die Bakterienzahl verdoppelt sich in 6 Stunden. Welches Wachstum kann man für die gleiche Bakterienkultur angeben, wenn man nur im Abstand von 12 Stunden bzw. 8 Stunden zählt? |
Meine Frage betrifft die Aufgabe c). Als Lösung habe ich folgendes gedacht. Nach:
6h -> 2fach
7h -> 2 1/3fach
8h -> 2 2/3fach
9h -> 3fach
10h -> 3 1/3fach
11h -> 3 2/3fach
12h -> 4fach
Demnach würde es sich nach 12 Stunden vervierfachen und nach 8 Stunden um 2 2/3 mehr werden. Mein Mathevertretungslehrer hat jedoch angegeben, dass mein normaler Mathelehrer 2,52 als Lösung nach 8 Stunden angegeben hat. Jedoch kommt keiner aus meiner Klasse auf diese Lösung. Was ist denn nun richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Di 06.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Nach t Stunden besteht die Bakterienkultur aus
[mm] $B(t)=80*2^{t/6}$
[/mm]
Bakterien. Dann ist [mm] $B(8)=80*\wurzel[3]{16} \approx [/mm] 80*2,5198$.
FRED
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Diese Antwort ist bisher für mich doch am verständlichsten. Kann mir vielleicht noch jemand eine Erklärung geben warum in der Potenz die 6 im Nenner steht? Ich gehe mal davon aus, dass das mit den 6 Stunden zu tun hat, die es braucht bis die Baktieren sich verdoppelt haben. Aber aus welchem Grund wird das so geschrieben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Di 06.03.2012 | | Autor: | fred97 |
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> Diese Antwort ist bisher für mich doch am
> verständlichsten. Kann mir vielleicht noch jemand eine
> Erklärung geben warum in der Potenz die 6 im Nenner steht?
> Ich gehe mal davon aus, dass das mit den 6 Stunden zu tun
> hat, die es braucht bis die Baktieren sich verdoppelt
> haben. Aber aus welchem Grund wird das so geschrieben?
Du kannst auch folgenden Ansatz machen:
[mm] B(t)=80*a^t.
[/mm]
Mit [mm] B(6)=80*a^6=160 [/mm] folgt: [mm] a^6=2, [/mm] also a= [mm] \wurzel[6]{2}.
[/mm]
FRED
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Jedoch kommt dann ein völlig anderes Ergebnis raus, nämlich 1,122462048.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Di 06.03.2012 | | Autor: | fred97 |
>
> Jedoch kommt dann ein völlig anderes Ergebnis raus,
> nämlich 1,122462048.
?????
[mm] B(t)=80*(\wurzel[6]{2})^t=80*(2^{1/6})^t=80*2^{t/6}
[/mm]
FRED
>
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Tut mir leid, kleiner Denkfehler von mir. Schön und gut; zurück zu der Formel von Ihrem ersten Post.
[mm]B(t)=80*2^\bruch{8}{6}[/mm]
Die 8 sind die Anzahl der Tage von dem Wachstum, das ich errechnen soll. Die 6 sind die Anzahl der Tage, nach denen es sich verdoppelt. Aber warum genau muss ich jetzt 8 geteilt durch 6 rechnen und was genau stellt der ausgerechnete Wert 1 1/3 dar?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Mi 07.03.2012 | | Autor: | chrisno |
> zurück zu der Formel von Ihrem ersten Post.
>
> [mm]B(t)=80*2^\bruch{8}{6}[/mm]
>
> Die 8 sind die Anzahl der Tage von dem Wachstum, das ich
> errechnen soll. Die 6 sind die Anzahl der Tage Stunden, nach denen es sich verdoppelt.
Daher musst Du auch B(8) = ... schreiben und nicht mehr B(t).
> ... und was genau stellt der ausgerechnete Wert 1 1/3 dar?
Die letzte Frage zuerst beantwortet: Das ist der Exponent für die 2. Also die Zahl, die sagt, wie oft man 2 mit sich selbst multiplizieren soll. Da es keine natürliche Zahl ist, kann man das auch so schreiben: [mm] $2^\bruch{8}{6} [/mm] = [mm] 2^\bruch{4}{3} [/mm] = [mm] 2^{1+\bruch{1}{3}} [/mm] = [mm] 2^1*\wurzel[3]{2} \approx [/mm] 2,52$
Die Frage davor
> Aber warum genau muss ich jetzt 8 geteilt durch 6 rechnen
Die Formel [mm]B(t)=80*2^\bruch{t}{6}[/mm] produziert dir für jede Anzahl von Stunden t, die Anzahl der Bakterien. Ausprobieren:
[mm]B(0)=80*2^\bruch{0}{6} = 80[/mm], also so viele, wie es am Anfang, zur Zeit 0, waren.
[mm]B(6)=80*2^\bruch{6}{6} = 80*2[/mm], also so viele, wie es nach 6 Stunden, der Verdopplungszeit, waren. Darum muss die 6 im Nenner des Exponenten stehen, damit beim Einsetzen einer 6 [mm] genau$2^1=2$ [/mm] herauskommt.
[mm]B(12)=80*2^\bruch{12}{6} = 80*2^2[/mm], nun ist die zweite Verdopplung nach der doppelten Zeit erreicht.
Für 6 und für 12 Stunden kommt so das Richtige heraus. Wenn Du das Ergebnis für 8 Stunden haben willst, dann musst Du nun für t die 8 einsetzen.
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> 8) Zu Beginn einer bakteriologischen Untersuchung werden 80
> Bakterien gezählt. Innerhalb von 6 Stunden verdoppelt sich
> ihre Anzahl.
>
> a) Erstelle eine Wertetabelle für die ersten 24 Stunden in
> 6-Stunden-Intervallen.
> b) Wie viele Bakterien sind nach 5 Tagen vorhanden? Löse
> mit einer Funktionsgleichung!
> c) Die Bakterienzahl verdoppelt sich in 6 Stunden. Welches
> Wachstum kann man für die gleiche Bakterienkultur angeben,
> wenn man nur im Abstand von 12 Stunden bzw. 8 Stunden
> zählt?
Hallo,
man könnte es so lösen:
nach 6 Stunden - 2-fach
nach 12 Stunden - 4-fach
nach 18 Stunden - 8-fach
nach 24 Stunden - 16-fach
nach 8 Stunden - q-fach
nach 16 Stunden - [mm] q^2-fach
[/mm]
nach 24 Stunden - [mm] q^3-fach
[/mm]
Nun wissen wir von oben: [mm] q^3=16 [/mm] ==> q=[mm]\wurzel[3]{16}[/mm].
(Es stecken hier natürlich die gleichen Überlegungen dahinter wie bei Freds Lösung - nur etwas "kind"gemäßer hingeschrieben.)
LG Angela
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Du hast oben wohl ausversehen q²-fach statt q³-fach nach 16 Stunden geschrieben? Aber warum genau q² und q³?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Di 06.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Anfangs haben wir 80 Bakterien.
Nach 8 Stunden haben wir 80*q Bakterien.
Nach weiteren 8 Stunden , also nach 16 Stunden, haben wir [mm] (80*q)*q=80q^2 [/mm] Bakt.
Nach weiteren 8 Stunden , also nach 24 Stunden, haben wir [mm] ((80*q)*q)q=80q^3 [/mm] Bakt.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Di 06.03.2012 | | Autor: | fred97 |
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> > 8) Zu Beginn einer bakteriologischen Untersuchung werden 80
> > Bakterien gezählt. Innerhalb von 6 Stunden verdoppelt sich
> > ihre Anzahl.
> >
> > a) Erstelle eine Wertetabelle für die ersten 24 Stunden in
> > 6-Stunden-Intervallen.
> > b) Wie viele Bakterien sind nach 5 Tagen vorhanden?
> Löse
> > mit einer Funktionsgleichung!
> > c) Die Bakterienzahl verdoppelt sich in 6 Stunden.
> Welches
> > Wachstum kann man für die gleiche Bakterienkultur angeben,
> > wenn man nur im Abstand von 12 Stunden bzw. 8 Stunden
> > zählt?
>
> Hallo,
>
> man könnte es so lösen:
>
> nach 6 Stunden - 2-fach
> nach 12 Stunden - 4-fach
> nach 18 Stunden - 8-fach
> nach 24 Stunden - 16-fach
>
> nach 8 Stunden - q-fach
> nach 16 Stunden - [mm]q^2-fach[/mm]
> nach 24 Stunden - [mm]q^3-fach[/mm]
>
> Nun wissen wir von oben: [mm]q^3=16[/mm] ==> q=[mm]\wurzel[3]{16}[/mm].
>
> (Es stecken hier natürlich die gleichen Überlegungen
> dahinter wie bei Freds Lösung - nur etwas "kind"gemäßer
> hingeschrieben.)
Hallo Angela,
da hast Du ja in didaktischer Hinsicht eine Glanzleistung vollbracht ! Glückwunsch.
Gruß FRED
>
> LG Angela
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