Extrema < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Funktion auf Extrema:
z=f(x,y)= [mm] (x-y)^3 [/mm] + 12xy |
So...
hab schonmal die Funktion einmal nach x und dann nach y differenziert
[mm] z_x= 3x^2-6xy+3y^2+12y
[/mm]
[mm] z_y= -3x^2+x(6y+12)-3y^2
[/mm]
Nun müssen ja die beiden Gleichungen das notwendige Kriterium erfüllen (also [mm] z_x=0 [/mm] und [mm] z_y=0)
[/mm]
und da ist mein Problem.
Damit das gegeben ist müsste ich ja ein Gleichungssystem (bestehend aus den beiden Gleichungen oben) lösen.
Ich habe mir gedacht, das ich die obere Gleichung einfach nach y auflöse und dann das Ergebnis in die zweite Gleichung einsetze.
Aber bei mir kommt da nur Bullshit zustande.
Habe als einzige Lösung die beide GLS erfüllt x=0 und y=0 gefunden.
Das kann aber nicht sein, da diese Lösung das hinreichende Kriterium nicht mehr erfüllt und demnach kein Extrema vorliegt.
Ich weiß nich wo der Fehler liegt und ich weitermachen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Moin,
wenn du in der Gleichung für [mm] z_y [/mm] das x mal nicht ausklammerst bzw. im mittleren Term wieder ausmultiplizierst, hast du die beiden Gleichungen:
[mm] z_x=3x^2-6xy+3y^2+12y=0 [/mm] und
[mm] z_y=-3x^2+6xy-3y^2+12x=0
[/mm]
Die addiere mal....
Wenn du bei f(x,y) das [mm] (x-y)^3 [/mm] nicht erst ausmultipliziert, sondern direkt die partiellen Ableitungen bildest, siehste das fast noch schneller 
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
so einfach kann es sein, wenn man die Welt ohne Bretter vorm Kopf sieht...
Danke für die Hilfe.
Hab ja im übrigen ein Minimum raus
|
|
|
| |
|
Hab dazu noch mal ne Frage:
Was wäre, wenn ich diese Funktion nun nach einer Sattelstelle untersuchen müsste.
Welche Bedingungen muss denn eine Sattelstelle bei einer Funktion zweier Veränderlicher erfüllen?
Danke schonmal für eure Hilfe!
|
|
|
| |
|
> Hab dazu noch mal ne Frage:
> Was wäre, wenn ich diese Funktion nun nach einer
> Sattelstelle untersuchen müsste.
> Welche Bedingungen muss denn eine Sattelstelle bei einer
> Funktion zweier Veränderlicher erfüllen?
Hallo,
wenn der Gradient gleich null ist und die Hessematrix indefinit, weißt Du, daß Du einen Sattelpunkt hast.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
ähm ja...
hab noch nie was von einer Hesse Matrix gehört... haben wir auch noch nicht besprochen.
Es muss auch irgentwie anders gehen.
Liegt vlt. dein Sattelpunkt vor wenn das Notwendige Kriterium:
[mm] f_x(x,y)*f_y(x,y)-f^2_x_y(x,y)< [/mm] 0 ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 So 29.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
das was du aufgeschrieben hast, ist gerade die Determinante der Hesse-Matrix.
Schau mal bei wikipedia unter Hesse-Matrix, dort sind alle Bedingungen aufgelistet.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
|
|
|
| |
|
Also ist es doch richtig, das wenn meine oben aufgestellte Bedingung erfüllt ist die Hesse Matrix indefinit wird und demzufolge ein Sattelpunkt vorliegt. Oder?
|
|
|
| |
|
> Also ist es doch richtig, das wenn meine oben aufgestellte
> Bedingung erfüllt ist die Hesse Matrix indefinit wird und
> demzufolge ein Sattelpunkt vorliegt. Oder?
Hallo,
wenn der Gradient =0 ist, und wenn ein Deiner Bedingung ähnliche Bedingung, nämlich
[mm] f_x_x(x,y)f_y_y(x,y)-f_{xy}^2(x,y)<0 [/mm] gilt,
hast Du sicher einen Sattelpunkt vorliegen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Danke für die sehr gute Hilfe!
|
|
|
|
