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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Do 09.06.2005 | | Autor: | Jimmyz |
Es ist
f(x,y) = [mm] x^{4}- y^{4}
[/mm]
und die Menge
M = [mm] {(x,y)\in\IR^{2} : -1
gegeben.
Man soll die lokalen Extrema von f auf M und Maximum und Minimum von f auf M Abschluß bestimmen.
Nun hab ich ein paar Fragen.
Die Determinante für die Hessematrix ist für (0,0) gleich 0, dass heißt, dass sie keine Aussage
macht, ob an (0,0) ein Extrema vorliegt. Kann man das so zeigen:
Sei e>0
f(e,0) = [mm] e^{4} [/mm] > 0 = f(0,0)
und
f(0,e) = [mm] -e^{4} [/mm] < 0 = f(0,0)
Dass heißt, das kein Extremum in (0,0) vorliegt (wegen Vorzeichenwechsel).
Stimmt das soweit?
Und nun die zweite Frage?
Was ist M Abschluß?
Also für x ergibt sich ja dann -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
aber für y? Wie ist das dort?
Und wie bestimmt man nun Maximum und Minimum, wenn man schon
gar keine lokalen Extrema hat?
Es wäre wirklich sehr nett, wenn mir jemand helfen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:04 Fr 10.06.2005 | | Autor: | Jockal |
> Es ist
>
> f(x,y) = [mm]x^{4}- y^{4}[/mm]
>
> und die Menge
>
> M = [mm]{(x,y)\in\IR^{2} : -1
>
> gegeben.
>
> Man soll die lokalen Extrema von f auf M und Maximum und
> Minimum von f auf M Abschluß bestimmen.
>
> Nun hab ich ein paar Fragen.
>
> Die Determinante für die Hessematrix ist für (0,0) gleich
> 0, dass heißt, dass sie keine Aussage
> macht, ob an (0,0) ein Extrema vorliegt. Kann man das so
> zeigen:
>
> Sei e>0
>
> f(e,0) = [mm]e^{4}[/mm] > 0 = f(0,0)
>
> und
>
> f(0,e) = [mm]-e^{4}[/mm] < 0 = f(0,0)
>
> Dass heißt, das kein Extremum in (0,0) vorliegt (wegen
> Vorzeichenwechsel).
> Stimmt das soweit?
Ja, das ist wunderbar so.
> Und nun die zweite Frage?
>
> Was ist M Abschluß?
>
> Also für x ergibt sich ja dann -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
> aber für y? Wie ist das dort?
Überlegung mit x richtig. Mit y musst Du an sich nichts tun, denn [mm] \IR [/mm] ist nach definition abgeschlossen. (Evtl. wäre auch interpretierbar, dass (unendlich) mit dazugenommen werden soll, aber das glaube ich bei dieser Aufgabenstellung kaum.)
> Und wie bestimmt man nun Maximum und Minimum, wenn man
> schon
> gar keine lokalen Extrema hat?
Das sog. "absolute" Max. oder Min. ist in den lokalen Extrema UND an den Rändern des Definitionsbereichs zu suchen. Das heißt, wenn Du keine lokalen Extrema hast, musst Du noch f in allen Randpunkten von M betrachten und dort nach dem größten/kleinsten Wert suchen.
Ich hoffe, ich konnte Dir ausreichend helfen.
> Es wäre wirklich sehr nett, wenn mir jemand helfen kann.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Fr 10.06.2005 | | Autor: | Jimmyz |
ja, so hab ich mir das auch gedacht, aber einwas ist mir noch unklar
eine kompakte Menge nimmt doch Maximum und Minimum an, das Minimum
liegt ja bei x=1 bzw. x=-1
aber das Minimum find ich nicht, da es ja minus unendlich wäre
wenn also [mm] \IR [/mm] abgeschlossen ist, muss f(x,y) ein Minimum annehmen, aber [mm] \IR [/mm] hat doch gar keinen Rand, also gibt es wohl auch kein Minimum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Fr 10.06.2005 | | Autor: | Jockal |
> ja, so hab ich mir das auch gedacht, aber einwas ist mir
> noch unklar
>
> eine kompakte Menge nimmt doch Maximum und Minimum an, das
Ja, "eine stetige Funktion nimmt auf einem Kompaktum Extrema an", aber es ist Vorsicht geboten ! Die Menge ist zwar abgeschlossen, aber allein deswegen noch nicht kompakt !
Ich weiss nicht, welche Definition von "kompakt" ihr gelernt habt, aber in jedem Fall müsste aus ihr ersichtlich sein, dass [mm] \IR [/mm] selbst nicht kompakt sein kann. (mehr dazu s.u.)
> liegt ja bei x=1 bzw. x=-1
Das ist wohl richtig.
> aber das Minimum find ich nicht, da es ja minus unendlich
> wäre
Auch richtig.
> wenn also [mm]\IR[/mm] abgeschlossen ist, muss f(x,y) ein Minimum
> annehmen
Da liegt das Problem (wie oben gesagt): [mm] \IR [/mm] ist zwar abgeschlossen, aber deswegen noch nicht kompakt.
> aber [mm]\IR[/mm] hat doch gar keinen Rand, also gibt es
> wohl auch kein Minimum
So ist es. Macht ja auch nichts, oder ? Dann gibts halt kein Minimum.
Noch etwas mehr zu "kompakt":
Manchmal definiert man den Begriff nur für Teilmengen von [mm] \IR^{n} [/mm] in dem man sagt: "Kompakt" ist äquiv. zu "abgeschlossen und beschränkt".
Da sieht man gleich: [mm] \IR [/mm] ist nicht beschränkt, also auch nicht kompakt.
Eine etwas allgemeinere Definition wäre es, zu verlangen: Jede offene Überdeckung der Menge muss eine endliche Teilüberdeckung besitzen. (und die Menge muss hausdorffsch sein, aber das ist [mm] \IR [/mm] ohnehin)
Auch hier sieht man: zB Die offene Überdeckung durch lauter Intervalle fester Länge kann keine endliche Teilüberdeckung haben...
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