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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:28 Do 17.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Es sei p: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] ein Polynom vom Grad n mit n > 0 gerade.
Zeigen Sie: Entweder nimmt p ein absolutes Minimum oder ein absolutes Maximum an. |
Guten Morgen,
bräuchte bei der Aufgabe eure Hilfe. Ich habe bis jetzt folgendes:
Zu zeigen: [mm] \exists [/mm] c [mm] \in \IR: [/mm] P(c) [mm] \ge [/mm] P(x) für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Sei P: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] P(x) = [mm] \summe_{i=0}^{n} a_{i}*x^{i} [/mm] ein beliebiges Polynome mit n = 2k für k [mm] \in \IN. [/mm] Der Grad des Poylnomes ist gerade also wäre der Grad der Ableitung ungerade. Es ist [mm] P:\IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] P'(x) = [mm] \summe_{i=1}^{n} ia_{i}*x^{i-1}. [/mm] Und ab hier weiß ich leider nicht wirklich weiter. Hoffe ihr könnt mir weiter helfen.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Du brauchst keine Ableitung.
Sei $P(x) = [mm] \summe_{i=0}^{n} a_{i}\cdot{}x^{i} [/mm] $ mit n = 2k
Fall 1: [mm] a_n>0. [/mm] Dann: $P(x) [mm] \to \infty$ [/mm] für $x [mm] \to \pm \infty$. [/mm] (Warum ?) . Also ex. ein R>0 mit:
P(x)>|P(0)| für jedes x mit |x|>R.
Weiter ex. ein [mm] x_0 \in [/mm] [-R,R] mit :
(1) [mm] P(x_0) \le [/mm] P(x) für jedes x [mm] \in [/mm] [-R,R]
Warum ??.
Also auch [mm] P(x_0) \le [/mm] P(0).
Wir haben dann
(2) [mm] P(x_0) \le [/mm] P(0) [mm] \le [/mm] |P(0)| <P(x) für jedes x mit |x|>R.
Aus (1) und (2) folgt: P nimmt in [mm] x_0 [/mm] sein absolutes Minimum an.
Fall 2: [mm] a_n<0. [/mm] Jetzt Du ! (Du kannst Dir das Leben vereinfachen, wenn Du zu -P übergehst)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Do 17.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank für deine Hilfe.
> Du brauchst keine Ableitung.
>
> Sei [mm]P(x) = \summe_{i=0}^{n} a_{i}\cdot{}x^{i}[/mm] mit n = 2k
>
> Fall 1: [mm]a_n>0.[/mm] Dann: [mm]P(x) \to \infty[/mm] für [mm]x \to \pm \infty[/mm].
> (Warum ?) . Also ex. ein R>0 mit:
Weil der Grad der Funktion gerade ist und an > 0.
> P(x)>|P(0)| für jedes x mit |x|>R.
>
> Weiter ex. ein [mm]x_0 \in[/mm] [-R,R] mit :
>
> (1) [mm]P(x_0) \le[/mm] P(x) für jedes x [mm]\in[/mm] [-R,R]
>
> Warum ??.
Weil P(x) > |P(0)| für jedes |x| > R und P(x) -> [mm] \infty. [/mm]
> Also auch [mm]P(x_0) \le[/mm] P(0).
>
> Wir haben dann
>
> (2) [mm]P(x_0) \le[/mm] P(0) [mm]\le[/mm] |P(0)| <P(x) für jedes x mit
> |x|>R.
>
> Aus (1) und (2) folgt: P nimmt in [mm]x_0[/mm] sein absolutes
> Minimum an.
>
> Fall 2: [mm]a_n<0.[/mm] Jetzt Du ! (Du kannst Dir das Leben
> vereinfachen, wenn Du zu -P übergehst)
>
> FRED
Fall 2: Sei [mm] a_{n} [/mm] < 0 mit Polynom [mm] P_{2}(x) [/mm] = -P(x). Dann:
-P(x) -> - [mm] \infty [/mm] für x -> [mm] \infty.
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] R > 0: -P(x) < - P(0) für jedes |x| > R.
Weiter ex. ein [mm] x_{0} \in [/mm] [-R,R] mit:
(1) [mm] -P(x_{0}) \ge [/mm] -P(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [-R, R]
[mm] \Rightarrow -P(x_{0}) \ge [/mm] -P(0)
(2) -P(x) < -P(0) [mm] \le -P(x_{0}) [/mm] für jedes x mit |x| > R.
Aus (1) und (2) folgt: -P(x) [mm] \le -P(x_{0}) \Rightarrow P_{2}(x) \le P_{2}(x_{0})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] P nimmt in [mm] x_{0} [/mm] absolutes Maximum an.
Stimmt das so?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Hilfe.
>
> > Du brauchst keine Ableitung.
> >
> > Sei [mm]P(x) = \summe_{i=0}^{n} a_{i}\cdot{}x^{i}[/mm] mit n = 2k
> >
> > Fall 1: [mm]a_n>0.[/mm] Dann: [mm]P(x) \to \infty[/mm] für [mm]x \to \pm \infty[/mm].
> > (Warum ?) . Also ex. ein R>0 mit:
> Weil der Grad der Funktion gerade ist und an > 0.
Ja
> > P(x)>|P(0)| für jedes x mit |x|>R.
> >
> > Weiter ex. ein [mm]x_0 \in[/mm] [-R,R] mit :
> >
> > (1) [mm]P(x_0) \le[/mm] P(x) für jedes x [mm]\in[/mm] [-R,R]
> >
> > Warum ??.
> Weil P(x) > |P(0)| für jedes |x| > R und P(x) -> [mm]\infty.[/mm]
Unfug! Nachdenken ! Weil P stetig auf [-R,R] ist !!! Stetige Funktionen nehmen auf kompakten Menge ihr Min. und ihr Max. an.
> > Also auch [mm]P(x_0) \le[/mm] P(0).
> >
> > Wir haben dann
> >
> > (2) [mm]P(x_0) \le[/mm] P(0) [mm]\le[/mm] |P(0)| <P(x) für jedes x mit
> > |x|>R.
> >
> > Aus (1) und (2) folgt: P nimmt in [mm]x_0[/mm] sein absolutes
> > Minimum an.
> >
> > Fall 2: [mm]a_n<0.[/mm] Jetzt Du ! (Du kannst Dir das Leben
> > vereinfachen, wenn Du zu -P übergehst)
> >
> > FRED
>
> Fall 2: Sei [mm]a_{n}[/mm] < 0 mit Polynom [mm]P_{2}(x)[/mm] = -P(x). Dann:
> -P(x) -> - [mm]\infty[/mm] für x -> [mm]\infty.[/mm]
Nein: wen [mm] a_n<0 [/mm] ist, dann haben wir doch -P(x)= [mm] -a_nx^n [/mm] + ... [mm] \to \infty [/mm] für x [mm] \to \pm \infty
[/mm]
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] R > 0: -P(x) < - P(0) für jedes |x| >
> R.
>
> Weiter ex. ein [mm]x_{0} \in[/mm] [-R,R] mit:
> (1) [mm]-P(x_{0}) \ge[/mm] -P(x) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [-R, R]
> [mm]\Rightarrow -P(x_{0}) \ge[/mm] -P(0)
>
> (2) -P(x) < -P(0) [mm]\le -P(x_{0})[/mm] für jedes x mit |x| > R.
>
> Aus (1) und (2) folgt: -P(x) [mm]\le -P(x_{0}) \Rightarrow P_{2}(x) \le P_{2}(x_{0})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] P nimmt in [mm]x_{0}[/mm] absolutes Maximum an.
>
> Stimmt das so?
Nein, Du hast es komplett verdaddelt !!
Im Falle [mm] a_n<0, [/mm] setze Q:=-P. Dann ist der führende Koeefizient von Q = [mm] -a_n>0.
[/mm]
Nach Fall 1 gibt es ein [mm] x_0 \in \IR [/mm] mit [mm] Q(x_0) \le [/mm] Q(x) für alle x.
Dann: [mm] P(x_0) \ge [/mm] P(x) für alle x.
FRED
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> LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 Do 17.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Oh man. Danke.
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