Extrema mehrdimensional < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mo 30.06.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] \IR^{2} \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (1−x)(1−y)(1−xy) und sei [mm] M:=[−1,1]^{2}. [/mm] Zeigen Sie, dass die Funktio f [mm] |_{M} [/mm] ihr Minimum und Maximum annimmt und bestimmen Sie min{f(x) | x [mm] \in [/mm] M } und max{f(x) | x [mm] \in [/mm] M} sowie alle Punkte in M, in denen diese Werte angenommen werden. |
Ich muss diese Aufgabe lösen. Kann ich bei der Existenz der Extrema wie im eindimensionalen annehmen, dass stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen ihr Max bzw. Min annehmen oder gilt das im mehrdimensionalen nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Mo 30.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]\IR^{2} \to \IR,[/mm] (x,y) [mm]\mapsto[/mm]
> (1−x)(1−y)(1−xy) und sei [mm]M:=[−1,1]^{2}.[/mm] Zeigen Sie,
> dass die Funktio f [mm]|_{M}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ihr Minimum und
> Maximum annimmt und bestimmen Sie min{f(x) | x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M } und
> max{f(x) | x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M} sowie alle Punkte in M, in denen diese
> Werte angenommen werden.
> Ich muss diese Aufgabe lösen. Kann ich bei der Existenz
> der Extrema wie im eindimensionalen annehmen, dass stetige
> Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen ihr Max bzw. Min
> annehmen oder gilt das im mehrdimensionalen nicht?
Das ist im eindimensionalen und im mehrdimensionalen falsch !
Richtig ist: stetige Funktionen auf kompakten(!) Mengen nehmen dort ihr Max. und Min an.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mo 30.06.2014 | | Autor: | Calculu |
Ah stimmt, kompakt müssen sie sein. Danke für die schnelle Antwort.
Ist es sinnvoll zu zeigen, dass die Funktion stetig ist und damit zu argumentieren, dass sie auf [mm] [-1,1]^{2} [/mm] ihr Max., Min. annimmt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Mo 30.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ah stimmt, kompakt müssen sie sein. Danke für die
> schnelle Antwort.
> Ist es sinnvoll zu zeigen, dass die Funktion stetig ist
> und damit zu argumentieren, dass sie auf [mm][-1,1]^{2}[/mm] ihr
> Max., Min. annimmt?
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Mo 30.06.2014 | | Autor: | Calculu |
Super, danke. Dann probier ich das mal und schreibe hier wieder.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 Di 01.07.2014 | | Autor: | Calculu |
Ich bräuchte einen Tipp wie ich die Stetigkeit der Funktion zeigen kann. Momentan fällt mir nur ein, dass wenn f stetig [mm] \gdw [/mm] Urbilder offener Mengen offen sind.
Aber ich weiß nicht wie ich das hier anwenden könnte. Welche Möglichkeiten hab ich noch?
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Hallo,
die Funktion sieht doch schon gar nicht gefährlich aus.
Ihr hattet doch bestimmt, dass Produkte und Summen von stetigen FUnktionen wieder stetig sind. Damit wäre quasi alles gezeigt.
Ansonsten eben normal über die Definition der Stetigkeit, wie sie in jedem üblichen Analysis-Buch steht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:05 Di 01.07.2014 | | Autor: | Calculu |
> Hallo,
>
> die Funktion sieht doch schon gar nicht gefährlich aus.
>
> Ihr hattet doch bestimmt, dass Produkte und Summen von
> stetigen FUnktionen wieder stetig sind. Damit wäre quasi
> alles gezeigt.
Ja, stimmt eigentlich. Das sollte wohl reichen.
> Ansonsten eben normal über die Definition der Stetigkeit,
> wie sie in jedem üblichen Analysis-Buch steht.
Da f also stetig auf dem kompakten Intervall M nimmt f dort auch sein Maximum und Minimum an.
Nun will ich die Extremstellen rausfinden. Bedingung hierfür muss grad(f)=0 sein. Also [mm] f_{x}=-2xy^{2}+y^{2}+2xy-1=0 [/mm] und [mm] f_{y}=-2x^{2}y+2xy+x^{2}-1=0
[/mm]
Gleichsetzen liefert:
[mm] y^{2}*(1-2x)+x^{2}*(2y-1)=0 [/mm] Diese Gleichung ist erfüllt für x=y. Also können hier Extrempunkte liegen. Wenn ich nun die Hessematrix an den Punkten x=y bilde und dann die Determinante, komme ich auf: [mm] det(H(y,y))=-12y^{4}+24y^{3}-12y^{2} [/mm] Diese Funktion ist aber nirgends größer als 0, somit kann ich keine Aussage über Extrema treffen. Wenn ich mir die Funktion zeichnen lasse, sehe ich, dass an den Intervallgrenzen die Extremwerte liegen. Wie kann ich diese jetzt klassifizieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:56 Di 01.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> [mm]y^{2}*(1-2x)+x^{2}*(2y-1)=0[/mm] Diese Gleichung ist erfüllt
> für x=y. Also können hier Extrempunkte liegen. Wenn ich
Genauer gesagt liefert dir die Lösung des Gleichungssystems genau die beiden Punkte [mm](1/1/0)[/mm] und [mm]\left(-\frac{1}{2}/-\frac{1}{2}/\frac{27}{16}\right)[/mm]. Für beide ist die HD nicht positiv, dem Plot nach scheinen beide Sattelpunkte zu sein.
Die Intervallgrenzen sind 4 jeweils zweidimensionale Kurven, die du ganz klassisch auf Extremwerte untersuchen kannst. Für x=1 bzw. y=1 erhältst du jeweils die Geraden z(y)=0 bzw. z(x)=0.
Für x=-1 bekommst du die Parabel [mm]z(y)=2-2y^2[/mm], welche ihr Maximum bei y=0 hat und ihre absoluten Minima im Intervall an den Rändern bei y=+-1. Für y=-1 stellt sich aus Symmetriegründen ein analoges Ergebnis ein.
Somit gibt es in M zwei Maxima mit [mm]\left(-1/0/2\right)[/mm] und [mm]\left(0/-1/2\right)[/mm] und die Minima liegen bei [mm]\left(-1/-1/0\right)[/mm], [mm]\left(x/1/0\right)[/mm] und [mm]\left(1/y/0\right)[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Di 01.07.2014 | | Autor: | Calculu |
Erstmal vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Leider sind mir einige Dinge nicht klar.
> > [mm]y^{2}*(1-2x)+x^{2}*(2y-1)=0[/mm] Diese Gleichung ist erfüllt
> > für x=y. Also können hier Extrempunkte liegen. Wenn ich
>
> Genauer gesagt liefert dir die Lösung des
> Gleichungssystems genau die beiden Punkte [mm](1/1/0)[/mm] und
> [mm]\left(-\frac{1}{2}/-\frac{1}{2}/\frac{27}{16}\right)[/mm].
Wie kommst du drauf?
Für
> beide ist die HD nicht positiv, dem Plot nach scheinen
> beide Sattelpunkte zu sein.
>
> Die Intervallgrenzen sind 4 jeweils zweidimensionale
> Kurven, die du ganz klassisch auf Extremwerte untersuchen
> kannst. Für x=1 bzw. y=1 erhältst du jeweils die Geraden
> z(y)=0 bzw. z(x)=0.
> Für x=-1 bekommst du die Parabel [mm]z(y)=2-2y^2[/mm], welche ihr
> Maximum bei y=0 hat und ihre absoluten Minima im Intervall
> an den Rändern bei y=+-1. Für y=-1 stellt sich aus
> Symmetriegründen ein analoges Ergebnis ein.
>
> Somit gibt es in M zwei Maxima mit [mm]\left(-1/0/2\right)[/mm] und
> [mm]\left(0/-1/2\right)[/mm] und die Minima liegen bei
> [mm]\left(-1/-1/0\right)[/mm], [mm]\left(x/1/0\right)[/mm] und
> [mm]\left(1/y/0\right)[/mm]
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Kann ich nicht zur Untersuchung des Rands die Randbedingung, also [mm] y=\pm [/mm] 1 und [mm] x=\pm [/mm] 1 in den Gradienten einsetzen, diesen dann gleich Null setzen und somit meine Extrema für die Randkurven bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:56 Mi 02.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> > Genauer gesagt liefert dir die Lösung des
> > Gleichungssystems genau die beiden Punkte [mm](1/1/0)[/mm] und
> > [mm]\left(-\frac{1}{2}/-\frac{1}{2}/\frac{27}{16}\right)[/mm].
>
> Wie kommst du drauf?
Naja, wie gesagt sind das die Lösungen des Gleichungssystems
[mm]\begin{cases} f_x(x,y)=0 \\ f_y(x,y)=0 \end{cases}[/mm]
Du hast durch Gleichsetzen schon [mm]x=y[/mm] gefunden. Wenn du also zB in [mm]f_x(x,y)=0[/mm] y durch x ersetzt, erhältst du [mm]-(x-1)^2*(2*x+1)=0[/mm] woraus sich für x die Doppellösung [mm]x=1[/mm] und die Lösung [mm]x=-\frac{1}{2}[/mm] ergeben. Aber das sind, wie gesagt, ohnedies keine Extrema.
> Kann ich nicht zur Untersuchung des Rands die
> Randbedingung, also [mm]y=\pm[/mm] 1 und [mm]x=\pm[/mm] 1 in den Gradienten
> einsetzen, diesen dann gleich Null setzen und somit meine
> Extrema für die Randkurven bestimmen?
Na, wenn du im Gradienten eine Variable durch eine Konstante ersetzt und den Gradienten anschließend Null setzt, dann hast du ja de facto zwei Gleichungen in nur einer Variablen!?
Aber du kannst natürlich in [mm]f_x(x,y)=0[/mm] für y -1 einsetzen und erhältst damit den Parabelscheitel (0/-1/2). Analog erhältst du alle anderen von mir angegeben Extrema, bis auf (-1/-1/0), denn das ist quasi der Rand vom Rand 
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