Extrema mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme die lokalen Extrema von F(x,y) = [mm] x^{2} [/mm] - [mm] 2(y+1)^{2} [/mm] auf der Menge
a) M = [mm] \{(x,y)^{T} \in \IR : x^{2} + 4y^{2} = 1\} [/mm]
b) M = [mm] \{(x,y)^{T} \in \IR : x^{2} + 4y^{2} \le 1\} [/mm] |
Guten morgen zusammen,
ich habe zwei Frage zur Lösungsskizze. Ich führe diese kurz aus und stelle dann meine Fragen.
Gebildet wird die Lagrange-Funktion L, dann entsprechend der Gradient von L und dieser wird 0 gesetzt (notwendige Bedingung).
Daraus folgen nun ingesamt 4 Punkte.
a =(0, [mm] \bruch{1}{2}), [/mm] b=(0, [mm] -\bruch{1}{2}), c=(\bruch{\sqrt(5)}{3}, -\bruch{1}{3}), d=(\bruch{-\sqrt(5)}{3}, -\bruch{1}{2}),
[/mm]
mit den Funktionswerten F(a) = [mm] -\bruch{9}{2}, F(b)=-\bruch{1}{2}, F(c)=F(d)=-\bruch{1}{3}.
[/mm]
Soweit so gut. Nun wird Argumentiert, c und d sind globale Maxima, a ist ein globales Minimum und b ein lokales Minimum.
Frage 1: Bisher war ich es gewohnt, die Klassifizierung der Extrema über die Hesse-Matrix zu bestimmen. Gehe ich richtig der Annahme, ich kann das auch über einen Vergleich der Funktionswerte machen? c und d sind die "größten" Punkte (->daher Maximum?), b ist kleiner als die Maxima, allerdings nicht der kleinste Punkt, daher nur lokales Minimum und a ist der kleinste Punkt.
Aber: Warum können das keine Sattelpunkte sein?
Dann Aufgabenteil b:
Die inneren Punkte der Funktion werden über den Gradient von F gebildet, wo nur ein Extremwertkandidat rauskommt: [mm] (0,-1)^{T}. [/mm] Dieser erfüllt aber nicht die neue Nebenbedingung, ist daher kein Extrema.
Jetzt wird es sehr unverständlich für mich:
Es bleiben noch die Punkte aus Aufgabenteil a: a,b,c,d entsprechend ihrer Klassifikation. ABER: Nur b wäre jetzt ein Sattelpunkt, weil die Richtungsableitung [mm] D_{v}F(b) [/mm] = -2 ist mit [mm] v=(0,1)^{T} [/mm] und damit ein Abstieg ins innere. Kann mir das jemand erklären, warum das ein Sattelpunkt ist? Vorallem: Warum ist dann Punkt a kein Sattelpunkt, dessen Richtungsableitung ist auch negativ (-6). Das ist doch genau das selbe Argument, nur das dieser angeblich kein Sattelpunkt ist...
Viele Grüße,
mathelernender
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 So 21.02.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:49 So 21.02.2016 | | Autor: | meili |
Hallo mathelernender,
> Bestimme die lokalen Extrema von F(x,y) = [mm]x^{2}[/mm] -
> [mm]2(y+1)^{2}[/mm] auf der Menge
>
> a) M = [mm]\{(x,y)^{T} \in \IR : x^{2} + 4y^{2} = 1\}[/mm]
> b) M = [mm]\{(x,y)^{T} \in \IR : x^{2} + 4y^{2} \le 1\}[/mm]
>
> Guten morgen zusammen,
>
> ich habe zwei Frage zur Lösungsskizze. Ich führe diese
> kurz aus und stelle dann meine Fragen.
>
> Gebildet wird die Lagrange-Funktion L, dann entsprechend
> der Gradient von L und dieser wird 0 gesetzt (notwendige
> Bedingung).
> Daraus folgen nun ingesamt 4 Punkte.
> a =(0, [mm]\bruch{1}{2}),[/mm] b=(0, [mm]-\bruch{1}{2}), c=(\bruch{\sqrt(5)}{3}, -\bruch{1}{3}), d=(\bruch{-\sqrt(5)}{3}, -\bruch{1}{2}),[/mm]
>
> mit den Funktionswerten F(a) = [mm]-\bruch{9}{2}, F(b)=-\bruch{1}{2}, F(c)=F(d)=-\bruch{1}{3}.[/mm]
>
> Soweit so gut. Nun wird Argumentiert, c und d sind globale
> Maxima, a ist ein globales Minimum und b ein lokales
> Minimum.
>
> Frage 1: Bisher war ich es gewohnt, die Klassifizierung der
> Extrema über die Hesse-Matrix zu bestimmen. Gehe ich
> richtig der Annahme, ich kann das auch über einen
> Vergleich der Funktionswerte machen? c und d sind die
> "größten" Punkte (->daher Maximum?), b ist kleiner als
> die Maxima, allerdings nicht der kleinste Punkt, daher nur
> lokales Minimum und a ist der kleinste Punkt.
> Aber: Warum können das keine Sattelpunkte sein?
M ist bei a) eine eindimensinale Mannigfaltigkeit, es kann deshalb kein Sattelpunkt sein,
aber es könnte ein Terassenpunkt sein, wenn in jeder Schnittumgebung
von a mit M Punkte liegen deren Funktionswerte von F mindestens einer
größer und einer kleiner als F(a) ist.
>
> Dann Aufgabenteil b:
> Die inneren Punkte der Funktion werden über den Gradient
> von F gebildet, wo nur ein Extremwertkandidat rauskommt:
> [mm](0,-1)^{T}.[/mm] Dieser erfüllt aber nicht die neue
> Nebenbedingung, ist daher kein Extrema.
>
> Jetzt wird es sehr unverständlich für mich:
> Es bleiben noch die Punkte aus Aufgabenteil a: a,b,c,d
> entsprechend ihrer Klassifikation. ABER: Nur b wäre jetzt
> ein Sattelpunkt, weil die Richtungsableitung [mm]D_{v}F(b)[/mm] = -2
> ist mit [mm]v=(0,1)^{T}[/mm] und damit ein Abstieg ins innere. Kann
> mir das jemand erklären, warum das ein Sattelpunkt ist?
> Vorallem: Warum ist dann Punkt a kein Sattelpunkt, dessen
> Richtungsableitung ist auch negativ (-6). Das ist doch
> genau das selbe Argument, nur das dieser angeblich kein
> Sattelpunkt ist...
Das ist die Richtungsableitung in die positive y-Richtung. Ins Innere von M
entlang dieser Richtung steigen deshalb die Werte von F an. Da bei a ein
Minimum ist, ist das kein Problem.
>
> Viele Grüße,
> mathelernender
Gruß
meili
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