Extrema mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Do 19.01.2012 | | Autor: | diab91 |
| Aufgabe | | Berechne das Minimum von f: [mm] \IR^3 \to \IR, (x,y,z)^t \to [/mm] z-x unter der Nebenbedingung [mm] x^2+y^2+z^2=1 [/mm] und x+y+z = 0. Begründe dein Ergebnis. |
Guten Abend,
ich bin wie folgt hier vorgegangen...Nach Vorraussetzung gilt:
[mm] x^2 [/mm] - x + [mm] y^2-y [/mm] + [mm] z^2-z [/mm] = 0 . Definiere g: [mm] \IR^3 \to \IR, (x,y,z)^t \to [/mm] x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)-1.
Meine erste Frage wäre... Habe ich mit dieser Funktion nun beide Bedingungen voll "berücksichtigt"? Darf man das so machen?
Nun da mir keine Parametrisierung eingefallen ist, habe ich den Satz über die Lagrange-Multiplikatoren angewendet. [mm] \IR^3 [/mm] ist offen und f,g sind stetig differenzierbare Funktionen. rang(grad(g(x)) = rang ( 2x-1 2y-1 2z-1) = 1 für alle x [mm] \in \IR^3 [/mm] und x [mm] \not= (0.5,0.5,0.5)^t. [/mm] Nun wende ich den Satz über die Lagrange Multiplikatoren an und erhalte ein b = -1- [mm] \wurzel{2} [/mm] bzw. b = [mm] \wurzel{2} [/mm] -1. Daraus ergeben sich zwei mögliche Extrempunkte [mm] a_1 [/mm] = [mm] (\bruch{2+ \wurzel{2}}{2+2*\wurzel{2}},0,-\bruch{2+ \wurzel{2}}{2+2*\wurzel{2}})^t [/mm] und [mm] a_2 [/mm] = [mm] (\bruch{2-\wurzel{2}}{2-2*\wurzel{2}},0,-\bruch{2- \wurzel{2}}{2-2*\wurzel{2}}). [/mm] Ist mein vorgehen soweit richtig? Nun kommt die Begründung... g ist eine stetige Funktion, die Menge [mm] \{0\} [/mm] ist abgeschlossen. Somit ist auch [mm] g^{-1}(\{0\}). [/mm] Die Menge V(g) = [mm] \{x \in \IR^3 | g(x) \} [/mm] ist wegen x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) = 1 beschränkt (reicht das argumentativ aus?). Nach dem Satz von Heine-Borel ist die Menge somit kompakt d.h sie nimmt auf [mm] \IR [/mm] ein Maximum und Minimum an. Somit ist [mm] a_2 [/mm] das gesuchte Minimum.
Nun ist meine Argumentation und mein Vorgehen korrekt? Was ist zu schwammig?
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Hallo diab91,
> Berechne das Minimum von f: [mm]\IR^3 \to \IR, (x,y,z)^t \to[/mm]
> z-x unter der Nebenbedingung [mm]x^2+y^2+z^2=1[/mm] und x+y+z = 0.
> Begründe dein Ergebnis.
> Guten Abend,
>
> ich bin wie folgt hier vorgegangen...Nach Vorraussetzung
> gilt:
> [mm]x^2[/mm] - x + [mm]y^2-y[/mm] + [mm]z^2-z[/mm] = 0 . Definiere g: [mm]\IR^3 \to \IR, (x,y,z)^t \to[/mm]
> x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)-1.
>
> Meine erste Frage wäre... Habe ich mit dieser Funktion nun
> beide Bedingungen voll "berücksichtigt"? Darf man das so
> machen?
>
Nein, das darf man nicht so machen.
> Nun da mir keine Parametrisierung eingefallen ist, habe ich
> den Satz über die Lagrange-Multiplikatoren angewendet.
> [mm]\IR^3[/mm] ist offen und f,g sind stetig differenzierbare
> Funktionen. rang(grad(g(x)) = rang ( 2x-1 2y-1 2z-1) = 1
> für alle x [mm]\in \IR^3[/mm] und x [mm]\not= (0.5,0.5,0.5)^t.[/mm] Nun
> wende ich den Satz über die Lagrange Multiplikatoren an
> und erhalte ein b = -1- [mm]\wurzel{2}[/mm] bzw. b = [mm]\wurzel{2}[/mm] -1.
> Daraus ergeben sich zwei mögliche Extrempunkte [mm]a_1[/mm] =
> [mm](\bruch{2+ \wurzel{2}}{2+2*\wurzel{2}},0,-\bruch{2+ \wurzel{2}}{2+2*\wurzel{2}})^t[/mm]
> und [mm]a_2[/mm] =
> [mm](\bruch{2-\wurzel{2}}{2-2*\wurzel{2}},0,-\bruch{2- \wurzel{2}}{2-2*\wurzel{2}}).[/mm]
> Ist mein vorgehen soweit richtig? Nun kommt die
> Begründung... g ist eine stetige Funktion, die Menge [mm]\{0\}[/mm]
> ist abgeschlossen. Somit ist auch [mm]g^{-1}(\{0\}).[/mm] Die Menge
> V(g) = [mm]\{x \in \IR^3 | g(x) \}[/mm] ist wegen
> x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) = 1 beschränkt (reicht das
> argumentativ aus?). Nach dem Satz von Heine-Borel ist die
> Menge somit kompakt d.h sie nimmt auf [mm]\IR[/mm] ein Maximum und
> Minimum an. Somit ist [mm]a_2[/mm] das gesuchte Minimum.
>
> Nun ist meine Argumentation und mein Vorgehen korrekt? Was
> ist zu schwammig?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Do 19.01.2012 | | Autor: | diab91 |
Hi MathePower,
weshalb darf man das so nicht machen? Wie könnte man es denn sonst zeigen?
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Hallo diab91,
> Hi MathePower,
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> weshalb darf man das so nicht machen? Wie könnte man es
Weil damit nicht die Extrema erfasst werden.
> denn sonst zeigen?
>
Bestimme die Extrema der Funktion
[mm]L\left(x,y,z,\alpha,\beta\right)=z-x-\alpha*\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1\right)-\beta*\left(x+y+z\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Do 19.01.2012 | | Autor: | diab91 |
Ok. Ich sehe wie du drauf gekommen bist. Was ich allerdings nicht verstehe, weshalb benötigt man [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta?
[/mm]
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Hallo diab91,
> Ok. Ich sehe wie du drauf gekommen bist. Was ich allerdings
> nicht verstehe, weshalb benötigt man [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta?[/mm]
Das ist die ![[]](/images/popup.gif) Lagrangesche Multiplikatorenmethode
Gruss
MathePower
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