Extrema von f(x)=sin x cos x < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man ermittle Lage ud Typ der Extrema folgender Funktion:
f(x)= sin x cos x |
Hallo!
Vielleicht kann mir jemand helfen, wie ich zumindest ersteinmal die Ableitungen für diese Funktion finde.
Es hapert immer an den Rechenregeln für sin und cos. Es wäre toll wenn mir jemand helfen könnte. z.B. wie kann man 2cos x noch anders ausdrücken?
vielen dank schon mal im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Juliette20,
> Man ermittle Lage ud Typ der Extrema folgender Funktion:
> f(x)= sin x cos x
> Hallo!
> Vielleicht kann mir jemand helfen, wie ich zumindest
> ersteinmal die Ableitungen für diese Funktion finde.
> Es hapert immer an den Rechenregeln für sin und cos.
Es gilt [mm]\sin'x = \cos x[/mm] und [mm]\cos'x=-\sin x[/mm]. Ferner benötigst du hier noch die ![[]](/images/popup.gif) Produktregel der Ableitung. Hilft dir das erstmal weiter?
Grüße
Karl
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Hey Karl!
Danke erstmal dass du geantwortet hast.
die erste Ableitung müsste dann so aussehen oder:
f`(x)= cos²x-sin²x
nun ist mein problem: wie bekomme ich von der ersten ableitung die nullstellen. wenn ich sin²x auf die andere seite ziehe habe ich:
sin²x=cos²x
soweit mir bekannt ist, gibt es hier keinen punkt oder?
wenn ich die zweite ableitung bilden will, muss ich ja wissen, was cos²x abgeleitet ist. leider finde ich das in meinem tafelwerk nicht.
Vielleicht kannst du mir ja dabei nochmal helfen.
LG
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Hallo,
Nullstelle der 1. Ableitung
[mm] 0=cos^{2}(x)-sin^{2}(x)
[/mm]
benutze jetzt den trigonometrischen Pythagoeas
[mm] sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1
[/mm]
[mm] cos^{2}(x)=1-sin^{2}(x)
[/mm]
oben einsetzen
[mm] 0=1-sin^{2}(x)-sin^{2}(x)
[/mm]
jetzt schaffst du es
2. Ableitung
[mm] f'(x)=cos^{2}(x)-sin^{2}(x)
[/mm]
benutze die Kettenregel
f''(x)=2*cos(x)*(-1)*sin(x) das ist der 1. Summand (-1)sin(x) kommt von der inneren Ableitung, so jetzt du den 2. Summanden,
Steffi
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hallo steffi!
danke für deine antwort.
lautet die 2. ableitung jetzt so?:
f"(x)= 2 cos x * (-sin x) - 2 sin x * (-cosx)
kann man das noch zusammenfassen?
zu der nullstelle:
auf den trigonometrischen pythagoras wäre ich nie gekommen...aber ich merks mir. ich komm jetzt aber trotzdem nicht weiter, da ich nicht weiß wie ich nach x auflösen soll :(
ich hab jetzt: 2sin² x = 1
ist das das gleiche wie 2 sin x² ??
LG
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Hallo,
zusammenfassen ist natürlich möglich, ohne deinen Vorzeichenfehler,
f''(x)=-4sin(x)cos(x)
in deiner letzten Klammer muß cos(x) stehen, das war die innere Ableitung von sin(x),
[mm] 2sin^{2}(x)=1
[/mm]
[mm] sin^{2}(x)=0,5
[/mm]
[mm] sin(x)=\pm\wurzel{0,5}
[/mm]
[mm] x_1=45^{0}
[/mm]
[mm] x_2=-45^{0}
[/mm]
beachte aber noch die Periode von [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Steffi
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hey steffi!
danke nochmal für deine mühe. ich hoffe ich habs jetzt.
ich hab ein maximum im punkt (0.5/0.42) und ein minimum bei (-0,5/-0,42).
darf ich nochmal kurz fragen, wie genau du auf die zusammenfassung der 2. Ableitung gekommen bist?
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Hallo,
leider stimmen deine Punkte nicht, bei [mm] x=45^{0} [/mm] im Gradmaß, das entspricht x=0,7853 im Bogenmaß, setze dann [mm] 45^{0} [/mm] in die Ausgangsfunktion ein [mm] sin(45^{0})*cos(45^{0})=0,5, [/mm] somit ist der Extrempunkt
P(0,7853; 0,5), es handelt sich um ein Maximum, noch zu überprüfen durch die 2. Ableitung,
du hattest stehen
f"(x)= 2 cos x * (-sin x) - 2 sin x * (-cosx) beachte den erwähnten Vorzeichenfehler
f"(x)= 2 cos x * (-sin x) - 2 sin x * (cosx)
f"(x)= -2*sin x*cos x - 2 sin x*cosx
f"(x)= -4*sin x*cos x
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Mi 30.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Juliette
Du solltest wohl gar nicht so viel differenzieren und dergl. wenn du siehst, dass sinx*cosx=0,5*sin2x ist Additionsth. für sin(x+x)
Gruss leduart
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